Juftlik korrelyatsiyasi. Asosiy tushunchalar

ALGORITM

1. 
   Tanlangan muhimlik darajasi uchun formulani tuzing farazlar.
   

H ₀ : korrelyatsiya koeffitsienti statistik ahamiyatga ega emas (tasodifiy noldan farq qiladi).

N ₁ : korrelyatsiya koeffitsienti statistik ahamiyatga ega (uning noldan farq qilishi tasodifiy emas).

2. 
   Koeffitsientning empirik qiymatidan foydalanib, korrelyatsiya koeffitsientining ishonchliligini baholang Talabaning t:
   

S
t _r 

r

 r _xy 

... (57)

3. 
   Toping tanqidiy ma'nosi mezon Talabalik uchun raqamlar daraja erkinlik
   

k = n - 2 Ilovadan bir xil nomdagi statistik jadval bo'yicha: t _krit = t ( a ; k ).

Agar t _r < t _krit , keyin nol gipoteza qabul qilinadi, aks holda nol gipoteza rad etiladi.

Misol. Shimpanze onalarining massasi o'rtasidagi bog'liqlikni o'rgangan

x _{i ,}

homiladorlikning boshida o'lchanadi (kg) va yangi tug'ilgan chaqaloqlarning vazni (1-jadval).

^y _i (kg)

1-jadval

i	bitta	2	3	4	5	6	7	sakkiz	9	10
x i	10	10	10.1	10.2	10.8	o'n bir	11.1	11.3	11.3	11.4
y i	0,7	0,7	0,65	0,61	0,73	0,65	0,65	0,75	0,7	0,7

i	o'n bir	12	o'n uch	14	15	o'n olti	17	o'n sakkiz	o'n to'qqiz	yigirma
x i	11.8	12	12	12.1	12.3	o'n uch	13.4	13.5	14.5	15.6
y i	0,69	0,72	0,6	0,75	0,63	0,8	0,78	0,7	0,7	0,85

Yechim. Kerakli mahsulotlar miqdorini hisoblash uchun biz yordamchi jadval tuzamiz 2.

jadval 2

Onalarning vazni ( ^xi )	Bolalarning vazni ( ^yi )	x i ∙ y i	x 2 i	y 2 i
10	0,7	7	yuz	0,49
10	0,7	7	yuz	0,49
10.1	0,65	6.565	102.01	0,4225
10.2	0,61	6222	104.04	0,3721
10.8	0,73	7884	116.64	0,5329
o'n bir	0,65	7.15	121	0,4225
11.1	0,65	7215	123.21	0,4225
11.3	0,75	8.475	127.69	0,5625
11.3	0,7	7.91	127.69	0,49
11.4	0,7	7.98	129,96	0,49
11.8	0,69	8.142	139.24	0,4761
12	0,72	8.64	144	0,5184
12	0,6	7.2	144	0,36
12.1	0,75	9.075	146.41	0,5625
12.3	0,63	7749	151.29	0,3969
o'n uch	0,8	10.4	169	0,64
13.4	0,78	10 452	179.56	0,6084
13.5	0,7	9.45	182.25	0,49
14.5	0,7	10.15	210.25	0,49
15.6	0,85	13.26	243.36	0,7225
Miqdori 237,4	14.06	167 919	2861.6	9.9598

Keling, nol va muqobil gipotezalarni shakllantiramiz. H ₀ : korrelyatsiya koeffitsienti statistik ahamiyatga ega emas (tasodifiy noldan farq qiladi). N ₁ : korrelyatsiya koeffitsienti statistik ahamiyatga ega (uning noldan farq qilishi tasodifiy emas).

Korrelyatsiya koeffitsientining qiymatini (56) formuladan foydalanib topamiz:

x  y  x  y

167 919 _ 237.4 _ 14.06

^r xy

_{ }20 2020 _

x ²  x 2 

y ²  y 2



Shu sababli, shimpanze onalarining massasi va ularning yangi tug'ilgan bolalarining massasi o'rtasida chiziqli ijobiy o'rtacha bog'liqlik mavjud.

Korrelyatsiya koeffitsientining ishonchliligini baholaylik:

t _r  r _xy 

 0,565 

2.9.

A = 0,05 ahamiyatlilik darajasi uchun biz Ilovadan Student mezonining kritik qiymatini topamiz: t _krit = t ( a ; k ) = t (0,05; 18) = 2,1. Shunday qilib, t _r  t _krit , 2,9 > 2,1 dan beri va 0,05 ahamiyatlilik darajasida biz koeffitsient statistik ahamiyatga ega degan xulosaga kelamiz. korrelyatsiya.
Izoh. Agar taqqoslanadigan o'zgaruvchilar, masalan, X va Y dixotomiyali shkalada o'lchanadigan bo'lsa (nomlash shkalasining alohida holati), u holda munosabatlarni aniqlash uchun dixotomiyali shkalalar uchun Pearson koeffitsientidan foydalanish tavsiya etiladi.

X va Y o'zgaruvchilarning turli qiymatlarining paydo bo'lish chastotasini hisoblashning hojati bo'lmagan hollarda , korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash uchun qulay qiymatlar juftligining birgalikdagi sodir bo'lish sonini ko'rsatadigan tasodifiy jadval yordamida hisoblash mumkin. ikkita o'zgaruvchi (xususiyatlar). A - X o'zgaruvchisi nolga teng qiymatga ega bo'lgan va shu bilan birga Y o'zgaruvchisi birga teng qiymatga ega bo'lgan holatlar soni; B - X va Y o'zgaruvchilari bir vaqtning o'zida bittaga teng qiymatlarga ega bo'lgan holatlar soni ; S - X va Y o'zgaruvchilari bir vaqtning o'zida nolga teng qiymatlarga ega bo'lgan holatlar soni ; D - X o'zgaruvchisi birga teng qiymatga ega bo'lgan holatlar soni va Y o'zgaruvchisi nolga teng qiymatga ega bo'lgan holatlar soni (jadval. 3).

3-jadval

Umumiy favqulodda vaziyatlar jadvali

		X xususiyati		Jami
		0	bitta
Imzo Y	bitta 0	A BILAN	V D	A + B C + D
Jami		A + C	B + D	N

Umuman olganda, dixotomiyali ma'lumotlar uchun Pearson koeffitsienti formulasi

kabi ko'rinadi:

_{ } ( miloddan avvalgi  AD )

...

Misol. Taqqoslangan ikkita o'zgaruvchi X (oilaviy holat) va Y (universitetdan chiqarib tashlash) dixotomiyali shkala bo'yicha o'lchansin (denominatsiya shkalasining alohida holati). Oilaviy ahvol va universitetdan chetlatish o'rtasida bog'liqlik bor yoki yo'qligini bilib oling.

Mavzu kodi	X o'zgaruvchisi	Y o'zgaruvchisi
bitta 2 3 4 5 6 7 sakkiz 9 10	0 bitta 0 0 bitta bitta 0 bitta 0 0	0 bitta bitta 0 bitta 0 0 bitta 0 bitta

Yechim. Keling, dastlabki ma'lumotlar jadvaliga ko'ra favqulodda vaziyatlar jadvalini tuzamiz:

		X xususiyati		Jami
		0	bitta
Imzo Y	bitta 0	2 4	3 bitta	6 5
Jami		6	4	10

Ko'rib chiqilgan misolga mos keladigan favqulodda vaziyatlar jadvalidagi ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:
   0,32.

Shunday qilib, tanlangan misol uchun Pearson korrelyatsiya koeffitsienti 0,32 ga teng, ya'ni talabalarning oilaviy ahvoli va universitetdan chetlatish faktlari o'rtasidagi bog'liqlik. ahamiyatsiz.

Spearman korrelyatsiya koeffitsienti

Agar taqqoslangan X va Y o'zgaruvchilar darajali bo'lsa , ulanish o'lchovi sifatida Spearmanning darajali korrelyatsiya koeffitsientidan ( r _{s )} foydalanish maqsadga muvofiqdir, X o'zgaruvchining qiymatlari soni qiymatlar soniga teng bo'ladi. o'zgaruvchining Y ( n ).

ALGORITM

1. 
   Qaysi ikkita xususiyat yoki xarakteristikaning ikkita ierarxiyasi X va o'zgaruvchilar sifatida taqqoslashda ishtirok etishini aniqlang. Y. _
   
2. 
   Biz nol gipotezasini ilgari suramiz H ₀ : korrelyatsiya koeffitsienti statistik jihatdan ahamiyatsiz (tasodifiy noldan farq qiladi); muqobil gipoteza H ₁ : korrelyatsiya koeffitsienti statistik ahamiyatga ega (uning farqlanishi tasodifiy emas) nol).
   
3. 
   X o'zgaruvchining qiymatlarini tartiblash qoidalariga muvofiq birinchi darajani eng kichik qiymatga belgilang. Y o'zgaruvchining qiymatlarini bir xil bo'yicha tartiblang qoidalar.
   
4. 
   Jadvalning har bir satri uchun X va Y darajalari orasidagi farqlarni hisoblang va ularni d bilan belgilang . Har bir farqni ( d ² ) kvadratga aylantiring va ularning yig'indisini hisoblang .
   
5. 
   Darajali korrelyatsiya koeffitsientini hisoblang r _s formula bo'yicha: a) bir xil darajalar bo'lmaganda, u bilan hisoblanadi formula:
   

_d
n

2

i

qayerda d = X daraja - rankY .

r 1 6  <sup>i 1 ;

s</sup> n ³  n

b) bir xil darajalar mavjud bo'lganda:


n

i

a

b
_d ²  T  T

r 1 6  <sup>men 1 ,

s</sup> n ³  n

qaerda Sd ² - darajalar orasidagi farqlar kvadratlari yig'indisi; n - reytingda ishtirok etuvchi sub'ektlar yoki xususiyatlar soni; T _a va T _b - bir xil darajalar uchun tuzatishlar:

T _a 

a ³  a 


,

12
T _b 

b ³  b 



,

12

bu erda a - X darajali qatordagi bir xil darajadagi har bir guruhning hajmi ; b - Y darajali qatordagi bir xil darajadagi har bir guruhning hajmi.

6. 
   tomonidan korrelyatsiya koeffitsientining ishonchliligini baholaylik formula:
   

S
t _r 

r

 r _xy  _.

7. 
   STUDENT.OBR.2X ( a ) funksiyasidan foydalanib, muhimlik darajasi a va erkinlik darajalari soni k = n - 2 uchun kriteriyaning kritik qiymati topilsin ; k ) .
   
8. 
   Xulosa:
   

1. 
   agar t _r  t _kritik , keyin H _{0 nol gipotezasi rad etiladi} , ya'ni tanlangan muhimlik darajasida daraja korrelyatsiya koeffitsientining statistik ahamiyati haqida xulosa chiqariladi;
   
2. 
   agar t _r < t _krit , nol gipoteza H _{0 qabul qilinadi} , ya'ni tanlangan muhimlik darajasida darajali korrelyatsiya koeffitsientining statistik ahamiyati haqida xulosa chiqariladi.
   

Misol. O'qituvchi va talabadan 10 ta kasbni ijtimoiy ahamiyatiga ko'ra tartibga solish taklif qilindi. O'qituvchi va talaba fikrlari o'rtasida bog'liqlik bor yoki yo'qligini aniqlang (4-jadval).

4-jadval

O'qituvchi	Kasb-hunar	Talaba
3	Professor	2
bitta	Doktor	bitta
4	Maktab o'qituvchisi	7
2	Do'kon menejeri	4
sakkiz	Buxgalter	5
6	Bankir	3
9	Haydovchi	9
5	Jurnalist	sakkiz
10	DJ	10
7	Dasturchi	6

Shunday qilib, darajali korrelyatsiya koeffitsienti 0,745 ni tashkil etadi, bu o'qituvchi va talaba fikrlari o'rtasidagi yaqin va to'g'ridan-to'g'ri bog'liqlikdan dalolat beradi. STUDENT.OBR.2X (0,05; 8) statistik funksiyasi yordamida mezonning kritik qiymatini toping : t _krit = 2.306.

t _{r dan} beri  t kritik , 3.163> _2.306 dan beri, 0.05 ahamiyatlilik darajasida, H _{0 chetlanadi} va darajali korrelyatsiya koeffitsienti statistik ahamiyatga ega.

Ko'p korrelyatsiya

Ko'p korrelyatsiya ko'rsatkichi ko'rib chiqilayotgan omillar to'plami va o'rganilayotgan belgi o'rtasidagi bog'liqlikning yaqinligini tavsiflaydi yoki boshqacha qilib aytganda, natijaga omillarning birgalikdagi ta'sirining yaqinligini baholaydi.

Aloqa shaklidan qat'i nazar, ko'p korrelyatsiya ko'rsatkichi ko'p korrelyatsiya indeksi sifatida topilishi mumkin:

,
^R y x ₁ x ₂ ... _ x _m ^

y
qayerda  ²

• 
  samarali xususiyatning umumiy dispersiyasi; ^{ 2}
  
• 
  qoldiq dispersiya.
  

ост
Ko'p korrelyatsiya indeksining chegaralari 0 dan 1 ga o'zgaradi. Uning qiymati 1 ga qanchalik yaqin bo'lsa, samarali belgining o'rganilayotgan barcha omillar majmuasi bilan aloqasi shunchalik yaqin bo'ladi. Bir nechta korrelyatsiya indeksining qiymati maksimal juftlangan indeksdan kattaroq yoki unga teng bo'lishi kerak korrelyatsiyalar:

1 2 m
^R yx x ... x

^{ r} yx (maksimal)

_i  1, m _^.

i
Regressiya modeliga omillarni to'g'ri kiritish bilan ko'p korrelyatsiya indeksining qiymati juftlik munosabatlarining korrelyatsiya indeksidan sezilarli darajada farq qiladi. Agar tenglamaga qo'shimcha ravishda kiritilgan bo'lsa, bir nechta

Regressiya omillari uchinchi darajali bo'lganligi sababli, ko'p korrelyatsiya indeksi juftlik korrelyatsiyasi indeksiga (uchinchi-to'rtinchi belgilardagi farqlar) amalda mos kelishi mumkin. Demak, ko'plik va juft korrelyatsiya ko'rsatkichlarini taqqoslab, regressiya tenglamasiga u yoki bu omilni kiritish maqsadga muvofiq degan xulosaga kelish mumkin.

Juftlangan korrelyatsiya koeffitsientlari matritsasi orqali agregat korrelyatsiya koeffitsientini chiziqli munosabat bilan aniqlash ham mumkin:

qayerda

^R y x ₁ , ... , x _m ^ ,

m
r 

bitta

^r yx

^r yx


1
bitta

...

...

^r yx ^r xx

bitta

...

...

...

m 1

...

m
^r yx

^r x _m x ₁

... 1

• 
  juftlashgan koeffitsientlar matritsasining determinanti korrelyatsiyalar;
  

r ₁₁ 

bitta


x x
r

2 bitta

...


x x
r

m bitta

r


x x
12

bitta

...


x x
r

m 2

...

...

...

...

r

1. 
   
   x x
   m
   

x x
r

2. 
   m
   

... 1

• 
  matritsa interfaktorining determinanti korrelyatsiya.
  

Ko'p korrelyatsiya koeffitsientining qiymati nafaqat har bir omil bilan natijaning korrelyatsiyasiga, balki interfaktor korrelyatsiyasiga ham bog'liq. Ko'rib chiqilgan formula sizga ko'p regressiya tenglamasiga murojaat qilmasdan, faqat juft korrelyatsiya koeffitsientlaridan foydalangan holda agregat korrelyatsiya koeffitsientini aniqlash imkonini beradi.

Samarali belgining o'rganilayotgan omillarga to'liq bog'liqligi bilan ularning umumiy ta'sir koeffitsienti birga teng. Effektiv belgining qoldiq o'zgarishining ulushi birlikdan _^{1  r 2} _, shartlangan

omillar izchil ravishda tahlilga kiritiladi. Natijada, radikal ifoda o'rganilayotgan barcha omillarning yig'indisi ta'sirini tavsiflaydi.Talaba mezonining tanqidiy qadriyatlari

k	 ( p )					 ( p )
	0,1 (0,9)	0,05 (0,95)	0,01 (0,99)			0,1 (0,9)	0,05 (0,95)	0,01 (0,99)
bitta	6.31375	12.70615	63.65590		o'n sakkiz		1.73406	2.10092	2.88844
2	2.91999	4,30266	9.92499		o'n to'qqiz		1.72913	2.09302	2.86094
3	2.35336	3.18245	5.84085		yigirma		1.72472	2.08596	2.84534
4	2.13185	2.77645	4.60408		21		1.72074	2.07961	2.83137
5	2.01505	2.57058	4.03212		22		1.71714	2.07388	2.81876
6	1.94318	2.44691	3.70743		23		1.71387	2.06865	2.80734
7	1.89458	2.36462	3.49948		24		1.71088	2.0639	2.79695
sakkiz	1,85955	2.30601	3.35538		25		1.70814	2.05954	2.78744
9	1.83311	2.26216	3.24984		26		1.70562	2.05553	2.77872
10	1.81246	2.22814	3.16926		27		1.70329	2.05183	2.77068
o'n bir	1,79588	2,20099	3.10582		28		1.70113	2.04841	2.76326
12	1.78229	2.17881	3.05454		29		1.69913	2.04523	2.75639
o'n uch	1.77093	2.16037	3.01228		o'ttiz		1.69726	2.04227	2.74998
14	1.76131	2.14479	2.97685		40		1.68385	2.02107	2.70446
15	1.75305	2.13145	2.94673		60		1.67065	2,00030	2.66027
o'n olti	1.74588	2.11990	2.92079		120		1.65765	1.97993	2.61742
17	1.73961	2.10982	2.89823				1.64484	1.95996	2.57583

Izohlar. Microsoft Excel da STUDENT.OBR.2X funksiyasi ( ; k ).

Pearson korrelyatsiya koeffitsientining kritik qiymatlari

Erkinlik darajalari soni k	Muhimlik darajasi a
	0,05	0,01	0,001
2	0,9500	0,9900	0,9900
3	0,8783	0,9587	0,9911
4	0,8114	0,9172	0,9741
5	0,7545	0,8745	0,9509
6	0,7067	0,8343	0,9249
7	0,6664	0,7977	0,8983
sakkiz	0,6319	0,7646	0,8721
9	0,6021	0,7348	0,8471
10	0,5760	0,7079	0,8233
o'n bir	0,5529	0,6833	0,8010
12	0,5324	0,6614	0,7800
o'n uch	0,5139	0,6411	0,7604
14	0,4973	0,6226	0,7419
15	0,4821	0,6055	0,7247
o'n olti	0,4683	0,5897	0,7084
17	0,4555	0,5751	0,6932
o'n sakkiz	0,4438	0,5614	0,6788
o'n to'qqiz	0,4329	0,5487	0,6625
yigirma	0,4227	0,5368	0,6524
21	0,4132	0,5256	0,6402
22	0,4044	0,5151	0,6287
23	0,3961	0,5052	0,6177
24	0,3882	0,4958	0,6073
25	0,3809	0,4869	0,5974
26	0,3739	0,4785	0,5880
27	0,3673	0,4705	0,5790
28	0,3610	0,4629	0,5703
29	0,3550	0,4556	0,5620
o'ttiz	0,3494	0,4487	0,5541
31	0,3440	0,4421	0,5465
32	0,3388	0,4357	0,5392
33	0,3338	0,4297	0,5322
34	0,3291	0,4238	0,5255

Число степеней свободы k	Уровень значимости α
	0,05	0,01	0,001
35	0,3246	0,4182	0,5189
36	0,3202	0,4128	0,5126
37	0,3160	0,4076	0,5066
38	0,3120	0,4026	0,5007
39	0,3081	0,3978	0,4951
40	0,3044	0,3932	0,4896

Izoh . k = n  2, bu erda n - korrelyatsiya qatoridagi ma'lumotlar miqdori

Spearman korrelyatsiya koeffitsientining kritik qiymatlari

n	a		n	a		n	a
	0,05	0,01		0,05	0,01		0,05	0,01
5	0,94	-	17	0,48	0,62	29	0,37	0,48
6	0,85	-	o'n sakkiz	0,47	0,60	o'ttiz	0,36	0,47
7	0,78	0,94	o'n to'qqiz	0,46	0,58	31	0,36	0,46
sakkiz	0,72	0,88	yigirma	0,45	0,57	32	0,36	0,45
9	0,68	0,83	21	0,44	0,56	33	0,34	0,45
10	0,64	0,79	22	0,43	0,54	34	0,34	0,44
o'n bir	0,61	0,76	23	0,42	0,53	35	0,33	0,43
12	0,58	0,73	24	0,41	0,52	36	0,33	0,43
o'n uch	0,56	0,70	25	0,49	0,51	37	0,33	0,43
14	0,54	0,68	26	0,39	0,50	38	0,32	0,41
15	0,52	0,66	27	0,38	0,49	39	0,32	0,41
o'n olti	0,50	0,64	28	0,38	0,48	40	0,31	0,40

Adabiyot

1. 
   Glass J. Pedagogika va psixologiyada statistik usullar / J. Glass, J. Stanley. - M .: Taraqqiyot, 1976 .-- 496 Bilan.
   
2. 
   Glantz S.Tibbiy va biologik statistika / S. Glants.-M .: Amaliyot, 1998. - 459 Bilan.
   
3. 
   Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika: universitetlar uchun darslik / V.E. Gmurman. - M .: Yuqori. shk., 2003. - 479 Bilan.
   
4. 
   Novikov D. A. Pedagogik tadqiqotlarda statistik usullar (tipik holatlar) / D. A. Novikov. - M .: MZ-Press, 2004 .-- 67 bilan .