|
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ НА ОСНОВЕ МАТРИЧНОЙ ЭКСПОНЕНТЫ
©
Р.А. Мельников
доцент кафедры математики и методики ее преподавания
Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина,
кандидат педагогических наук, доцент
Аннотация. Рассматривается вопрос о возможности применения операционного метода, основанного на
матричной экспоненте, к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод предлага-
ется в качестве альтернативного к сложившейся методике изучения способов решения таких систем. Приводит-
ся краткое его описание, а также реализуется алгоритм этого метода на конкретном примере.
Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, операционный метод, матрица, матричная
экспонента.
Тема «Системы дифференциальных уравнений» традиционно венчает изучение курса
«Дифференциальные уравнения» в вузе. Большинство обучающихся технического профиля
испытывают существенные затруднения именно при изучении этого раздела высшей матема-
тики. Связано это обычно с тем, что преподавание ведется по традиционным «лекалам». По-
давляющее большинство лекторов используют уже устоявшийся методический подход к обу-
чению студентов способам решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Чаще всего используется следующая схема изучения систем дифференциальных уравнений:
1) вводится понятие нормальной системы дифференциальных уравнений 1-го порядка,
формируется представление о ее общем и частном решениях;
2) рассматривается запись системы дифференциальных уравнений в симметричной фор-
ме, отрабатываются навыки перевода системы дифференциальных уравнений из нормальной
формы в симметричную и обратно;
3) демонстрируется простейший из методов решения систем дифференциальных урав-
нений – «метод исключения», при котором система, состоящая из n дифференциальных урав-
нений первого порядка, преобразуется в одно дифференциальное уравнение n-го порядка. Да-
лее предлагается «метод интегрируемых комбинаций». Оба этих метода опираются на реше-
ние обыкновенных дифференциальных уравнений, которые изучаются в темах, предшествую-
щих изучению систем дифференциальных уравнений.
4) Далее обычно рассматриваются системы линейных дифференциальных уравнений
(как однородные, так и неоднородные). Для их решения обычно используются модифициро-
ванный метод Эйлера и метод Даламбера.
Заметим также, что в некоторые программы изучения дисциплины «Дифференциальные
уравнения» включаются приближенные методы решения систем дифференциальных уравне-
ний (аналитические и асимптотические), а также вопросы, связанные с исследованием реше-
ний на устойчивость (в смысле Ляпунова). Часто к изучению дифференциальных уравнений
и их систем привлекается операционный метод, основанный на интегральном преобразова-
нии Лапласа. Но такой подход к изучению систем дифференциальных уравнений нарушает ге-
нетическое родство с системами алгебраических уравнений, при изучении которых, как из-
вестно, весьма эффективно используется теория матриц и определителей.
Имеется еще один подход к изучению систем дифференциальных уравнений, который
представляет собой своеобразный симбиоз операционного исчисления и теории матриц.
Ключевым понятием в этом методе является понятие «матричная экспонента».
© Р.А. Мельников, 2017
59
Рассмотрим кратко идею этого метода.
Пусть дана система дифференциальных уравнений с начальными условиями
X(t)=A X(t)
⋅
,
0
X(0)=X ,
где A – квадратная матрица, X(t) – вектор-столбец неизвестных функций, X
0
– вектор-столбец
начальных условий.
Для получения решения этой задачи можно использовать известную матричную фор-
мулу
At
0
X(t)=e
X
⋅
,
где
At
e
– матричная экспонента. Она определяется как сумма ряда
(
)
(
)
2
n
At
A t
A t
e
E A t
...
...
2!
n!
⋅
⋅
= + ⋅ +
+ +
+ [2, с. 54].
Изображение матричной экспоненты (по Лапласу) имеет вид
At
e
O
(
)
1
pE-A
−
,
(*)
где выражение
(
)
1
pE-A
−
принято называть резольвентой матрицы A. Заметим, что формула
(*) является генетическим обобщением изображения по Лапласа обычной экспоненты.
Пример. Решите систему дифференциальных уравнений
x =x-y,
y =2x+3y;
′
⎧
⎨ ′
⎩
с начальными ус-
ловиями x(0)= -1, y(0)= 2 .
Решение. Составим сначала матричную разность pE-A :
p 0
1 -1
p-1
1
pE-A=
0 p
2 3
-2
p-3
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
−
=
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
.
Далее найдем
(
)
det pE-A :
(
)
(
) (
)
2
p-1
1
det pE-A
p 1
p 3
2 p
4p 5
-2
p-3
=
=
− ⋅ − + =
−
+ .
Теперь составим присоединенную матрицу
(
)
*
p-3
-1
pE-A =
2
p-1
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
.
Значит, по формуле
(
)
(
)
1
*
1
pE-A
pE-A
det(pE-A)
−
=
⋅
можем записать
(
)
2
2
1
2
2
2
p-3
-1
p-3
-1
p
4p 5 p
4p 5
1
pE-A
2
p-1
2
p-1
p
4p 5
p
4p 5 p
4p 5
−
⎛
⎞
⎜
⎟
−
+
−
+
⎛
⎞ ⎜
⎟
=
⋅
=
⎜
⎟
−
+
⎜
⎟
⎝
⎠
⎜
⎟
−
+
−
+
⎝
⎠
.
Разложив все дроби, являющиеся элементами матрицы
(
)
1
pE-A
−
, на элементарные дро-
би [1, c. 80], получим
(
)
2
2
2
1
2
2
2
p-2
1
-1
(p-2)
1 (p-2)
1
(p-2)
1
pE-A
2
p-2
1
(p-2)
1
(p-2)
1 (p-2)
1
−
⎛
⎞
−
⎜
⎟
+
+
+
⎜
⎟
=
⎜
⎟
+
⎜
⎟
+
+
+
⎝
⎠
.
60
Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем
(
)
(
)
2t
2t
2t
2t
2t
At
2t
2t
2t
2t
2t
e
cos t sin t
e sin t
e cos t e sin t
e sin t
e
2e sin t
e
cos t sin t
2e sin t
e cos t e sin t
⎛
⎞
⎛
⎞
⋅
−
−
−
−
=
= ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⋅
+
+
⎝
⎠ ⎝
⎠
.
Тогда
( )
( )
(
)
(
)
2t
2t
2t
2t
x t
1
e
cos t sin t
e sin t
y t
2
2e sin t
e
cos t sin t
⎛
⎞
⎛
⎞
−
⋅
−
−
⎛ ⎞
=
⋅
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⋅
+
⎝ ⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
(
)
(
)
(
)
2t
2t
2t
2t
2t
2t
e
cos t sin t
2e sin t
e
cos t sin t
2e sin t 2e
cos t sin t
2e cos t
⎛
⎞
−
⋅
−
−
⎛
⎞
−
⋅
+
=
=
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
−
+
⋅
+
⎝
⎠
⎝
⎠
.
Окончательно получаем
( )
( )
(
)
2t
2t
x t
e
cos t sin t ,
y t
2e cos t .
⎧
= − ⋅
+
⎨
=
⎩
Do'stlaringiz bilan baham: |
