131
О ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ МАГИСТРАНТОВ
©
А.В. Букушева
доцент кафедры геометрии Саратовского национального
исследовательского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского,
кандидат педагогических наук
Аннотация. Рассматриваются некоторые вопросы организации научно-исследовательской работы маги-
странтов-математиков. Приводится пример задачи нахождения уравнения неголономных геодезических.
Ключевые слова: научно-исследовательская работа
магистрантов-математиков, геометрия, геодезиче-
ские.
Научно-исследовательская работа является обязательной для всех студентов, обучаю-
щихся в магистратуре. Рассмотрим некоторые содержательные аспекты организации научно-
исследовательской работы магистрантов, обучающихся по направлению «Математика и ком-
пьютерные науки», профиль «Математические основы компьютерных наук», реализуемые в
Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского.
Согласно действующей рабочей программе целями научно-исследовательской
работы
являются: наработка у обучающегося способности к самостоятельному изучению специаль-
ной литературы и поиску методов решения поставленных перед ним задач; освоение методов
математического моделирования, создание алгоритмов и их программная реализация; уча-
стие в работе конференций, научных семинаров с сообщениями и докладами о самостоя-
тельно полученных новых результатах, опубликование своих результатов в научной перио-
дике. Каждому магистранту назначается научный руководитель, который предлагает ему те-
му научно-исследовательской работы. Руководитель курирует
магистранта в течение всего
периода обучения. Магистрант последовательно готовит: реферат, выступления на научном
семинаре, курсовую работу, доклад на научную конференцию, выпускную квалификацион-
ную работу (магистерскую работу).
Например, темами научно-исследовательской работы
могут быть: «Главные идеалы частичной полугруппы булевых матриц», «Структуризация
множества альтернатив при заданном отношении предпочтения», «Контактные структуры в
трехмерном евклидовом пространстве», «Группы отражений и правильные многогранники»,
«Приложение p-адических полей для кодирования информации», «Точные решения уравне-
ния Левнера», «Компьютерные модели геодезических на многообразиях» и др.
Одна из форм организации научно-исследовательской
работы группы магистрантов
описана в работе [1]. Группа студентов делится на подгруппы, каждая из которых получает
разные задачи для исследования. Задачи имеют разную постановку, но всех их объединяет
принадлежность к исследованию одного и того же геометрического пространства. Сначала
магистранты решают общие для всех модельные задачи.
Таким образом, студенты получают новые знания о геометрических пространствах,
знакомятся со спецификой пространств с кручением, осваивают
возможности применения
информационных технологий в геометрии.
На следующем этапе научно-исследовательской работы предлагается самостоятельное,
творческое решение геометрических задач. Основной задачей для магистранта является оз-
накомление с инвариантами неголономной геометрии: коэффициентами связности, кручени-
ем, кривизной.
©
А.В. Букушева, 2017
132
К неголономной геометрии обычно относят: гладкое распределение, которое задано на
гладком многообразии, и оснащение распределения. Задание распределений вносит разнооб-
разие в классификацию связностей, возникающих на неголономном многообразии [5; 7].
Рассмотрим задачу, которую можно предложить магистранту для проведения научно-
исследовательской работы.
Одной из основных задач римановой геометрии является задача изучения поведения
геодезических линий на римановых многообразиях. Теория геодезических линий интересна с
прикладной точки зрения и для современных исследований, поскольку движение многих ти-
пов механических систем, а также тел или частиц в гравитационных и электромагнитных по-
лях, в сплошной среде часто происходит по траекториям, которые можно рассматривать как
геодезические линии некоторых пространств трех и более измерений.
Магистранту предлагается исследовать геометрию риманова многообразия, геодезиче-
ские которого представляют собой геометрические образы траекторий движения частицы
единичной массы. Актуальность предлагаемого исследования заключается в том, что полу-
ченные в работе результаты не только характеризуют геометрические
свойства рассматри-
ваемого многообразия, но и позволяют использовать их для изучения конкретных динамиче-
ских систем. С геометрической точки зрения наложение линейных ограничений на скорость
движения механической системы означает задание на многообразии
R
3
со специальной мет-
рикой двумерного распределения. В этом случае траектория движения точки будет описы-
ваться геодезической, всюду касающейся заданного распределения. Для явного нахождения
уравнений движения механической системы необходимо проинтегрировать дифференциаль-
ные уравнения второго порядка. В общем случае, эти уравнения допускают лишь численное
интегрирование. Зная геометрию многообразия
R
3
, можно добиться упрощения уравнений
геодезических, и, тем самым,
привести их к виду, доступному для явного интегрирования.
Пусть на многообразии
R
3
задано распределение
D, которое является линейной оболоч-
кой векторных полей
2
1
1
3
e
x
= ∂ + ∂
G
и
2
2
,
e
= ∂
G
оснащение определяется векторным полем
3
3
e
= ∂
G
[2; 3]. Зададим метрический тензор, координатное представление которого в базисе
∂
1
, ∂
2
, ∂
3
, имеет вид
2 2
2
2
1 ( )
0
0
1
0 .
0
1
x
x
x
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Так как вычисления проводятся в некоторой системе
координат, то возникает самостоятельная задача выбора такого базиса, в котором рассматри-
ваемые объекты имеют наиболее простое координатное представление. Например, компо-
ненты выбранного метрического тензора являются элементами единичной матрицы относи-
тельно базиса
1
,
e
G
2
,
e
G
3
e
G
.
В рассматриваемом пространстве можно найти выражение коэффициентов связности и
компонент тензора кривизны в голономных координатах; изучить простейшие свойства мно-
гообразия, в частности, выяснить, является ли многообразие со специальной метрикой мно-
гообразием Эйнштейна.
Одной из главных задач неголономной геометрии является нахождение уравнений не-
голономных (относительно внутренней связности) и голономных (относительно римановой
связности) геодезических. Задача нахождения геодезических решается путем интегрирова-
ния системы уравнений. Если удается выбрать такую систему координат, в которой коэффи-
циенты связности равны нулю, то система дифференциальных уравнений упрощается и до-
пускает решение. Мы
рассматриваем случай, когда гладкое распределение задается таким
образом, и система координат выбирается так, что
0,
a
bc
Γ =
a,
b,
c = 1, 2.
133
Нахождение неголономных геодезических сводится к исследованию системы диффе-
ренциальных уравнений:
2 1
2
0,
d x
dt
=
2 2
2
0,
d x
dt
=
3
1
2
,
dx
dx
x
dt
dt
=
в которой первые два уравнения
означают, что векторное поле вдоль кривой параллельно, а третье уравнение – геодезическая
касается распределения
D. Это исследование магистранту предлагается провести с использо-
ванием компьютерной программы,
например, Wolfram Mathematica. Использование систем
компьютерной математики (Wolfram Mathematica, Maple и т.д.) позволяет выходить на новые
уровни исследовательских задач [4; 6], проводить занятия на качественно новом уровне.
Do'stlaringiz bilan baham: 
