Iv. Foydalanilgan adabiyotlar

Kifoyalikning isboti. Endi to`plamni (3) ko`rinishda yozishimiz mumkin deb olib, uning o`lchovli ekanligini isbotlaymiz. to`plamlarning tuzilishiga asosan quyidagi
va , ( )
munosabatlar o`rinli. Tashqi o`lchovning hossasiga asosan

va
(12)
Ichki o`lchovning ta`rifiga asosan hamda (12) tengsizlikdan

tengsizlikka ega bo`lamiz. Demak

Bu tengsizliklar ihtiyoriy uchun o`rinli ekanligidan quyidagi tenglik kelib chiqadi:

Bu esa to`plamning o`lchovli ekanligini ko`rsatadi.
3-Teorema. Agar o`lchovli to`plamlar bo`lsa, ularning yig`indisi ham o`lchovli to`plam bo`ladi; yig`indining hadlari o`zaro kesismaydigan to`plamlardan iborat bo`lsa, yig`indining o`lchovi hadlari o`lchovlarining yig`indisiga teng bo`ladi.
Isbot. Teorema hadlarining soni ikki to`plamdan iborat bo`lgan hol uchun isbot etilsa kifoya, chunki hadlarining soni ta to`plamdan iborat bo`lgan holni matematik induksiya usuli yordami bilan hadlarining soni ikki to`plamdan iborat bo`lgan holga keltirishimiz mumkin. Shunday qilib, va o`lchovli to`plamlar bo`lsin. 3-teoremaga asosan, va to`plamlarni ushbu
, (13)
ko`rinishda yozishimiz mumkin. Bu ko`rinishda va to`plamlarning har bir soni chekli va o`zaro kesishmaydigan oraliqlar sistemasining yig`indisidan iborat: va tashqi o`lchovlari dan kichik bo`lgan to`plamlar; esa avvaldan berilgan ihtiyoriy kichik son. Demak,
(14)
(13) tengliklardan ushbu
(15)
Tenglik kelib chiqadi, bu yerda (15) tenglikdagi to`plam soni chekli o`zora kesishmaydigan oraliqlar sistemasining yig`indisidan iborat.
Tashqi o`lchovning hossasidan va (2) tengsizliklardan quyidagi tengsizlik kelib chiqadi:

Bu tengsizliklardan 3-teoremaga asoslanib, to`plamni o`lchovli to`plam deyish mumkin. Bundan tashqari:
(16)
Endi teoremaning ikkinchi qismini isbot etamiz. Shu maqsadda o`zora kisishmaydigan va to`plamlar uchun ushbu

tenglikning o`rinli ekanligini ko`rsatish kifoya. Haqiqatdan ham 5-ma`ruzadagi 4-teoremaga asosan
(17)
Shuning singari, 5-ma`ruzadagi 5-teoremaga asosan
(18)
5-ma`ruzadagi 2-teoremaga asosan

Bundan (17)va (18) tengsizlikka asosan, ushbu


tengsizliklarni olamiz. Bulardan tengsizliklar kelib chiqadi.