История и методология физики

разделенный на две части А и В перегородкой с небольшим отверстием, и что 
существо, которое может видеть отдельные молекулы, открывает и закрывает это 
отверстие так, чтобы дать возможность только более быстрым молекулам 
перейти из А в В и только более медленным перейти из В в А. Это существо, таким 
образом, без затраты работы повысит температуру в В и понизит в А, вопреки 
второму началу термодинамики». Воображаемое существо в примере Максвелла лорд 
Кельвин метко окрестил «демоном Максвелла». Максвелл этим примером хотел 
«показать, что второе начало термодинамики обладает лишь статистической 
достоверностью». 
После безуспешных попыток вывести второе начало из принципов механики 
Больцман в 1872г. нашел принципиальный путь в работе «Дальнейшие исследования 
теплового равновесия молекул газа». Он доказал, что существует такая величина - 
функция Н, которая никогда не может возрастать под влиянием движения атомов и эта 
величина совпадает с точностью до постоянного коэффициента с величиной 
. 
Это знаменитая Н-теорема Больцмана: 
. Больцман показал, что минимальному 
значению Н-функции соответствует максвелловское распределение молекул по 
скоростям. Он подчеркивал, что совокупность молекул, находящихся в тепловом 

---

движении, подчиняются не тем законам, которые справедливы для описания 
отдельных частиц, а другим, статистическим закономерностям.
Таким образом, Больцман вслед за Максвеллом рассматривал кинетические, 
тепловые явления на основе статистических закономерностей. Связав Н-функцию с 
энтропией, Больцман тем самым, по словам Лоренца «вышел за пределы классической 
термодинамики. Последняя может определить энтропию только для систем, 
находящихся в неизменном состоянии, а также для систем, состоящих из различных 
фаз, каждая из которых, рассматриваемая отдельно, находится в стационарном 
состоянии, хотя они могут и не находиться в равновесии друг с другом. Если 
определить величину –Н как энтропию, то со словом энтропия будет соединяться 
ясное понятие и тогда, когда внутреннее состояние газа нестационарно. Здесь снова 
обнаруживается превосходство атомистики над феноменологической теорией, как 
можно назвать термодинамику». 
Н-теорема Больцмана вызвала в свое время возражения, известные как парадокс 
обратимости Лошмидта и парадокс периодичности Пуанкаре-Цермело. В 1876 г. 
Лошмидт указал, что микроскопическая обратимость во времени уравнений движения 
отдельных молекул противоречит одностороннему протеканию явлений в макроско-
пических системах. Говорят, что на это возражение Больцман отреагировал так: 
«Ступайте, поверните их!» В современном понимании парадокс обратимости 
разрешается следующим образом. Состояние газовой системы, полученное из его 
естественного состояния с помощью обращения знаков скоростей всех молекул на 
противоположные, является чрезвычайно маловероятным и практически в природе не 
реализуется. 
Парадокс периодичности, указанный Цермело в 1896 г., состоял в том, что 
изолированная динамическая система с ограниченной энергией и конечными 
размерами за достаточно большой промежуток времени вернется в состояние, сколь 
угодно близкое к исходному состоянию. Этот промежуток времени называют 
временем возврата, или периодом цикла Пуанкаре. Говорят, что на это возражение 
Больцман ответил: «Долго же вам придется ждать». Дело в том, что это время воз-
врата для газа, находящегося в объеме умеренных размеров, чудовищно велико. Оно 
превышает возраст Вселенной, оцениваемой как 10
10
лет! Иными словами, такое 
событие не будет наблюдаться никогда. 
Парадоксы Лошмидта и Цермело имели принципиальное значение для 
понимания природы необратимых процессов и состояния равновесия. Возрастание 
энтропии по Больцману является результатом перехода системы из менее вероятных 
состояний в более вероятные. При этом состояние равновесия оказывается наиболее 
вероятным состоянием. Наблюдаемая необратимость макроскопических процессов 
представляется как статистический результат огромного числа обратимых 
микропроцессов: число микропроцессов, протекающих в одном направлении, 
подавляюще велико по сравнению с числом микропроцессов, протекающих в 
обратном направлении. Поэтому необратимые процессы можно рассматривать как 

---

наиболее вероятные процессы. Так что Н-теорема описывает наиболее вероятное 
поведение системы и ничего не говорит о менее вероятных ситуациях.
Вероятностный смысл возрастания энтропии базируется на знаменитой формуле
S = klnW, где k - постоянная Больцмана, W -термодинамическая вероятность. 
Эта формула, выражающая принцип Больцмана, высечена на могиле великого 
Больцмана на Венском кладбище, хотя сам он эту формулу не писал. Он говорил 
только о пропорциональности между энтропией и логарифмом вероятности 
термодинамического состояния. Такую формулу написал Планк, он же ввел и 
постоянную Больцмана. Термодинамическая вероятность W определяется по правилам 
комбинаторики. Например, в случае идеального газа, состоящего из N молекул, 
заключенных в данный объем V, и имеющего полную энергию U, расчет проводится 
так. Если каждая молекула имеет f степеней свободы, то размерность фазового 
пространства равна Nf. Фазовое пространство делится на конечное, хотя и очень 
большое число ячеек М: 1, 2, 3, ..., к, .... М. Допустим, что молекулы совершенно 
произвольно распределены по этим ячейкам, так что числа заполнения этих ячеек 
равны n
1
, n
2
, n
3
,..,n
k
,…, n
M
. При этом полное число молекул N= 
. Каждое 
распределение чисел n
k
характеризует определенное микросостояние газа. Число 
различных распределений из N молекул по М ячейкам, соответствующих одному и 
тому же микросостоянию газа, и называют термодинамической вероятностью:
 
Согласно принципу Больцмана энтропия имеет смысл меры молекулярного 
хаоса, а закон возрастания энтропии отражает возрастание дезорганизации 
(беспорядка) в системе. Современные исследования этого вопроса основываются на 
том, что вследствие динамической неустойчивости (хаоса) движения атомов в газе 
происходит перемешивание. Таким образом может быть понят переход от обратимых 
уравнений механики Гамильтона к необратимому кинетическому уравнению 
Больцмана (Ю.Л. Климонтович. Турбулентное движение и структура хаоса. - М.: 
Наука, 1990). 
Вероятностное определение энтропии тесно связано с понятием информации, 
которое ввел американский математик Шеннон (1916-2001). Информация I 
определяется как величина, пропорциональная логарифму числа событий 
с 
одинаковыми априорными вероятностями, из которых производится выбор: I = 
log
2
Определения информации и энтропии совпадают с точностью до знака. Это не 
только внешнее сходство. Можно сказать, что энтропия является мерой 
информативности описания состояний системы. Чем меньше энтропия, тем больше 
информации содержит описание системы.
Вернемся к демону Максвелла. В этом парадоксе тепло перетекает от более 
холодной части системы к более теплой. Суть парадокса разъяснил Бриллюэн. Он 
показал, что главный вопрос здесь заключается в том, как демон может получить 

---

информацию о молекулах. Чтобы увидеть молекулы, он должен их осветить. Для этого 
ему нужен прибор, например, фонарик, с помощью которого можно получить кванты 
света с энергией, превышающей энергию равновесных фотонов. Из расчетов следует, 
что энтропия системы, включающей в себя идеальный прибор для получения 
информации о молекулах, возрастает. В целом оказывается справедливым второй 
закон термодинамики в обобщенном виде: Δ(s-I) ≥ 0: за получение информации 
необходимо расплачиваться повышением энтропии.