Iste’molchining tanlash erkinligi. Iste’molchi naflik funksiyasini maksimallashtirish. Befarqlik egri chiziqlari va byudjet chegarasi

m
F(x₁,x₂,..., x_n ,₁,₂,...,_m ) = f (x₁,x₂,..., x_n )+_i g_i (x₁,x₂,..., x_n ) , (3)
i=1
hamda ^F ( j ₌1, 2,..., n) , ^F (i ₌1, 2,..., m) xususiy hosilalarni topib, ularni nolga
x _j _i tenglashtiramiz, natijada ushbu tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz

xFj =xfj +im=1i xgij = 0, j =1, 2,..., n
 (4)
^ ^^Fi = g_i (x₁ , x₂, x_n ) = 0, i =1, 2,..., m
(3) - funksiyaga Lagranj funksiyasi, _i sonlarga Lagranj ko’paytuvchilari deyiladi. f (x₁,x₂,..., x_n ) funksiya biror X ⁽⁰⁾ = (x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,...,x_n⁽⁰⁾) nuqtada ekstremumga
ega bo’lsa, shunday ⁽⁰⁾ = (₁⁽⁰⁾,⁽₂⁰⁾,...,⁽_n⁰⁾) vektor topiladiki
(x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾,..., x_n⁽⁰⁾, ₁⁽⁰⁾,⁽₂⁰⁾,...,⁽_m⁰⁾) nuqta (4) tenglamalar sistemasining yechimi bo’ladi. Demak, (4) tenglamalar sistemasi uchun shunday nuqtalar to’plamini topamizki, bu nuqtalarda Z funksiya ekstremum qiymatlarga ega bo’lishi mumkin. Bunda global minimum yoki maksimumni topish qoidasi noma’lum bo’ladi. Lekin, tenglamalar sistemasining yechimi topilgan bo’lsa, global maksimum (minimum)ni topish uchun bu nuqtalardagi funksiya qiymatlarini topib ularni solishtirish bilan natijaga ega bo’lish mumkin. Z = f (x₁, x₂,..., x_n ) va g_i (x₁,x₂,..., x_n ),(i =1, 2,..., m) funksiyalar ikkinchi tartibli xususiy hosilalarga ega va ular uzluksiz bo’lsa, (4) sistema yechimi bo’lgan nuqtalarda lokal ekstremumga ega bo’lishining yetarli shartini ko’rsatish mumkin. Lekin, bunday shartni keltirib chiqarishning amaliy ahamiyati katta emas.
2-misol. Lagranj ko’paytmalar usulidan foydalanib, Z = x₁ x₂ funksiyaning 2x₁ +x₂ = 4 tenglamani qanoatlantiruvchi maksimum qiymatini toping. Yechish. Lagranj funksiyasini topamiz
F(x₁, x₂,) = x₁x₂ +(2x₁ +x₂ −4)
Bu funksiyadan x₁, x₂ va _ lar bo’yicha xususiy hosilalarni topib, ularni nolga tenglashtirib, ushbu tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
x₂ + 2= 0, x₁ += 0,
^2x₁ +x₂ −4 = 0.
Bu tenglamalar sistemasining yechimi = −1, x₁ =1, x₂ = 2
Z_max =12 = 2 bo’ladi.
Lagranj usulini, nazariy tomondan ayrim cheklashlar tengsizlik ko’rinishida va yechimlar manfiymas shartlarida ham qo’llash mumkin. Bunda, yordamchi o’zgaruvchilar kiritish bilan tengsizliklar tenglamalarga aylantiriladi hamda yordamchi o’zgaruvchilarga manfiymaslik sharti qo’yiladi. Z funksiya yechimlar sohasining ichki nuqtalarida ham chegaraviy nuqtalarida ham ekstremal qiymatlarga ega bo’lishi mumkin. Birinchi bosqichda (4) sistemaning manfiy bo’lmagan yechimlari topiladi va yechimlarda Z funksiyaning qiymatlari hisoblanadi. Manfiymas oktantning chegaraviy nuqtalarida tekshirish uchun, o’zgaruvchilarni ketma-ket bittadan 0 ga teng bo’lgan holni qaraymiz. Keyin, xuddi shu masalani (n-1) o’zgaruvchi uchun yechamiz. Bu masalalar uchun (4) sistemani hosil qilamiz va uning yechimlarini topib, Z funksiyaning bu yechimlar uchun qiymatlarini hisoblaymiz. Shunday n ta masalani 0 ga teng deb masalani n-
² n!