Iste’molchining tanlash erkinligi. Iste’molchi naflik funksiyasini maksimallashtirish. Befarqlik egri chiziqlari va byudjet chegarasi

=

2 P₂
Nochiziqli (chiziqli bo’lmagan) dasturlash masalasining qo’yilishi.
1. Ma’lumki, hozirgacha qaralgan mavzularda maqsadli funksiya va cheklash shartlari chiziqli (birinchi darajali) bo’lgan hollarni qaradik. Lekin, hamma modellar ham chiziqli bo’lavermaydi, ya’ni real amaliy masalalarda chiziqli bo’lmagan bog’lanishlarga duch kelamiz. Boshqacha aytganda, chiziqli bo’lmagan dasturlash (programmalash) nazariyasini yaratishga to’g’ri keldi. Hozirgi davrda chiziqli bo’lmagan dasturlash o’zining rivojlanish holatida desak bo’ladi.
Matematik dasturlash masalalarida maqsadli funksiya va cheklash shartlari sistemasi (yoki ulardan biri) chiziqli bo’lmasa, bunday masalalarga chiziqli bo’lmagan dasturlash (CHBD) masalalari deyiladi. Bu masala umumiy holda quyidagicha qo’yiladi:
_g_i (x₁, x₂,..., x_n )  b_i ,i =1,2,...,k, (1)
_g_i (x₁, x₂,..., x_n )  b_i ,i = k +1,k + 2,...,m cheklash shartlari sistemasini qanoatlantiruvchi shunday X ₌ (x₁,x₂,..., x_n ) vektorni topish kerakki
Z = f (x₁,x₂,..., x_n ) (2)
maqsadli funksiya ekstremum qiymatga erishadigan bo’lsin, bunda g_i (x₁,x₂,..., x_n ) va f (x₁,x₂,..., x_n ) funksiyalar berilgan deb olinadi. Odatda x₁,x₂,..., x_n o’zgaruvchilarga manfiy emas degan shart ham qo’yiladi. Bundan tashkari yechim butun sonli bo’lsin degan shart ham qo’yilishi mumkin. Masalaning bunday qo’yilishiga odatda shartli ekstremum deb yuritiladi.
Ma’lumki maqsadli funksiya va cheklash shartlari chiziqli bo’lsa, CHBD masalasidan CHD masalasi kelib chiqadi.
Masalaning qo’yilishidan ko’rinadiki, CHBD masalalari sinfi CHD masalasiga nisbatan juda keng sohadir.
CHBD da hali universal (CHD dagi simpleks usuliga o’xshash) usullar ishlab chiqilmagan. Mavjud usulllar, biror turdagi masalalarni yechishga moslangan bo’lsa ham ularning tatbiqlarining ahamiyati kundan-kunga oshib bormoqda.
CHBD da asosiy natijalar cheklash shartlari sistemasi chiziqli, maqsadli funksiya chiziqli bo’lmagan hollarda olingan deyish mumkin.
CHD dagi kabi CHBD masalalarini ham ikki o’zgaruvchi uchun grafik usulda yechish mumkin.
1-misol. Ushbu
x₁ +x₂  0,5,
^_3x₁ +4x₂ 12,
^x₁  0, x₂  0
cheklash shartlarini qanoatlantiruvchi X ₌ (x₁,x₂) vektorning
Z = (x₁ −3)² +(x₂ −5)² funksiya minimum va maksimumga ega bo’ladigan qiymatini toping.
Yechish. Cheklash shartlari chiziqli bo’lganligi uchun, xuddi CHD dagidek X₁OX₂ koordinatlar tekisligida AVSE (1-chizma) mumkin bo’lgan yechimlar ko’pburchagini hosil qilamiz. Z = k (k  0) desak markazi M(3,5) nuqtada radiusi

k teng bo’lgan
(x₁ −3)² +(x₂ −5)² = k
aylanani hosil qilamiz. Ma’lumki, aylanma radiusining ortishi (kamayishi) bilan Z maqsadli funksiya qiymati ham ortadi (kamayadi). Markazi M nuqtada bo’lgan har xil radiusli aylanalar o’tkazish bilan yechimlar ko’pburchagi bilan birinchi umumiy

nuqta D nuqta bo’ladi va Z(Д) = 28925 bo’lib, _Д^_ ²⁴, ^57_ nuqtada funksiya
 25 25
minimum qiymatga erishadi. Aylanalardan radiusi o’sib borishi va yechimlar ko’pburchagi bilan oxirgi umumiylik A nuqtada bo’ladi. Demak, eng katta radiusli aylana A nuqtadan o’tib, bu nuqtada Z maqsadli funksiya maksimum Z(A)=31,25 qiymatga ega bo’ladi.

1-chizma
2. 1) Cheklashlari tenglik tarzida bo’lgan masalalarni Lagranjning ko’paytuvchilar usuli yordamida yechish. CHBD ushbu masalasi berilgan bo’lsin:
Z = f (x₁,x₂,..., x_n ) (1)
funksiyaning
g_i (x₁,x₂,..., x_n ) = 0, i =1, 2,..., m (2)
tenglamalar sistemasini qanoatlantiruvchi maksimum qiymati topilsin. f (x₁,x₂,..., x_n ) va g_i (x₁,x₂,..., x_n ),(i =1, 2,..., m) funksiyalar birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birgalikda uzluksiz bo’lsin. Bu masalani yechish uchun quyidagi funksiyani tuzamiz: