х = k xk , k =1, k 0, k = 0,r (9) k=0 k=0
Bu holda siniq chiziqli h(~x) funksiyaning analitik ifodasi quyidagicha bo’ladi:
h(~x) = r khk , (10)
k=0
bu yerda х[0, а] va
r r х = k xk , k =1, k 0, k = 0,r.
k=0 k=0
Endi (1)-(3) masalaning siniq chiziqli approksimatsiyasini hosil qilish uchun masaladagi х j no’malumlarning har biri [0, аj ] intervalga tegishli bo’lgan qiymatlarini qabul qiladi deb faraz qilamiz. [0, а j ] oraliqni х0 j , х1j ,..., хrj nuqtalar yordamida rj ta kesmalarga ajratamizki, ular uchun
x0 j = 0, x1j x2 j ... xrj = aj
munosabat o’rinli bo’lsin.
f j (x j ) va gij (x j ) funksiyalarning bu nuqtalardagi qiymatini topamiz:
-
rj
f j (xj ) =kj fkj =f j (xkj ),
k=0
|
|
|
|
|
|
(11)
|
rj
gij (xj ) =kj gikj , gikj =gij (xkj ),
k=0
|
|
|
|
|
|
(12)
|
rj
x j =kj xkj ,
k=0
|
|
|
|
|
|
(13)
|
r
kj =1, kj 0, k = 0,rj , j =1,n.
|
|
|
|
|
|
(14)
|
k=0
(11)-(14) munosabatlarga asosan berilgan masalani quyidagi taqribiy masala bilan almashtiriladi:
n n rj
g~ij (x j ) =kj gikj , =, bi ,i =1,m (15)
j=1 j=1 k=0 r
kj =1, kj 0, k = 0,rj , j =1,n (16)
k=0
Z~ = ~f (X) =n f j (x j ) =n rj kj fkj →max(min). (17)
j=1 j=1 k=0
Bu masalada kj larning shunday qiymatlarini topish kerakki, ular (15)-(16) shartlarni qanoatlantirib, (17) maqsadli funksiya maksimum (minimum) qiymatga ega bo’lsin. Masalaning taqribiy yechimini topishda simpleks usulni qo’llash mumkin. (15)-(17) masalani simpleks usul bilan yechish jarayonida optimallik mezoni (kriteriyasi)
kj =Cб B−1Akj −Ckj 0, k = 0,rj , j =1, n (18)
bilan tekshirib boriladi, bu yerda Akj (15)-(17) masalalarning chegaraviy shartlarini ifodalovchi vektor, V bazis matritsa va Ckj = fkj . (15)-(17) masalaning tayanch rejasi (18) shartni qanoatlantirmasa, bu plan masalaning optimal yechimi bo’ladi.
Iqtisodiyotga oid masalalarni chiziqli bo’lmagan dasturlash usullari bilan yechish.
Masala. Bir xildagi mahsulot K1, K2,..., Kn korxonalarda ishlab chiqarilishi mumkin bo’lsin. j - korxonaning oladigan foydasi
f j (xj ) = (aj −k j xj )xj (1)
chiziqli bo’lmagan funksiya bilan ifodalansin, bunda x j - ishlab chiqarilgan mahsulot birliklardagi miqdori, aj 0, k j 0 o’zgarmas koeffitsiyentlar.
K j - korxonaning ishlab chiqarish quvvati M j ham ma’lum bo’lsin.
N - miqdor birligidagi mahsulotga bo’lgan buyurtmani korxonalar o’rtasida shunday taqsimlash kerakki, mahsulot ishlab chiqarishdan eng katta foyda olinadigan bo’lsin.
Yechish. Masalaning matematik modeli quyidagicha bo’ladi:
n
f (x)=(a j −k j x j )x j (2)
j=1
maqsadli funksiyaning
n
x j = N, (3)
j=1
0 x j M j (4) cheklash shartlarini qanoatlantiruvchi maksimum qiymatini toping.
Masalani xususiylashtiramiz. n= 5, N =1000bo’lsin. a j , k j va M j parametrlarning qiymati ushbu jadvalda berilgan:
-
Parametrlar
|
|
|
Korxonalar
|
|
|
K1
|
K2
|
K3
|
K4
|
K5
|
aj
|
20
|
18
|
22
|
19
|
21
|
kj
|
0,020
|
0,015
|
0,022
|
0,018
|
0,016
|
Mj
|
250
|
260
|
240
|
270
|
200
|
(2) funksiya har bir qo’shiluvchisidan x j bo’yicha olingan hosila
(aj −k j xj )xj =−2k j 0 bo’lib, uning botiq funksiya ekanligi kelib chiqadi.
Birinchi bosqichda (2), (3) masalaning yechimini topamiz: Bu masala uchun Lagranj funksiyasi
n n
F(x,) =(a j −k j x j )x j +N −x j
j=1 j=1
bo’lib, xususiy hosilalarni topib, ularni 0 ga tenglashtirib, ushbuni hosil qilamiz:
a j −2k j x j =,
n
x j =N
j=1
xususiy holda
a j −2k j x j =, ( j =1, 2, 3, 4, 5)
(5)
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = N
(5) sistemadan
a j − (6) x j = , ( j =1, 2,3, 4,5)
2k j
x j larni (5) sistemaning 2-tenglamasiga qo’ysak,
5 a j 5 1
= k j −j=1 k j = 2N
j 1
hosil bo’ladi. Oxirgi tenglikdan Lagranj ko’paytuvchisini topsak:
5 a j
j=1 k j −2N
= 5 (7)
1
j=1 k j
bo’ladi. ning topilgan qiymatini (6) tenglikka qo’yib, x j larning qiymatini
topamiz.
Sonli qiymatlarni (7) va (6) formulalarga qo’yib, hisoblasak, =12,734; х1 =181,6; х2 =175,5; х3 = 210,6 ; х4 =174,1; х5 = 258,3 bo’ladi. Bunda х5 = 258,3 K5 korxona quvvatidan ortiq bo’ldi, chunki uning quvvati M5 = 200
edi. х5 = 200 deymiz.
Ikkinchi bosqichda (2) funksiya, lekin x1 + x2 + x3 + x4 =800, n = 4
shartda, xuddi birinchi bosqichdagidek, masalani yechib, =12,198; х1 =195; х2 =193,4; х3 = 222,8; х4 =188,8 larni olamiz. Olingan qiymatlar (2)-(3) masala
shartlarini qanoatlantiradi.
Shunday qilib, buyurtmani korxonalar o’rtasida optimal taqsimlash х1 =195; х2 =193; х3 = 223; х4 =189; х5 = 200 (1 gacha yaxlitlab olinganda)
bo’lib, maksimal foyda, ya’ni max f (x)=16375 bo’ladi.
Mavzuning tayanch tushunchalari.
Nochiziqli dasturlash, chiziqli bo’lmagan bog’lanishlar, nochiziqli maqsadli funksiya, chiziqli bo’lmagan cheklash shartlari, butun sonli yechim, shartli ekstremum, Lagranj ko’paytuvchilar usuli, Lagranj funksiyasi, Lagranj ko’paytuvchilari, global ekstremum, cheklash shartlari tenglik va tengsizliklar tarzida, shartli ekstremum masalasini yechishning sonli usuli.
Do'stlaringiz bilan baham: |