Исследование задач диффузии информации

Модель Верхульста - Модель логистического роста (1838,1845)[45]
Пьер-Франсуа Верхульст [45], бельгийский математик, предложил сигмоидальную логистическую функцию роста, часто встречающуюся в микробной популяции, и сформулировал следующую модель логистического роста [46]:

• r и K - положительные константы.
• K - пропускная способность окружающей среды (определяется имеющимися поддерживающими ресурсами).
обозначает коэффициент рождаемости на душу населения, зависящий от N(t) в момент времени t. Переставляя (12), мы имеем:

Использование Частичных дробей:

Заменяющий в (16) дает:

Следовательно, по (17) мы получаем:

Подставляя значения для A и B в (14), мы имеем

Следовательно, (13) становится:

Интегрируя обе части (23), мы получаем:

При t=0 мы имеем:

Где
Следовательно

Решая для N(t), мы имеем

Умножение числителя и знаменателя на доходность:

Здесь как
Если
-Популяция N(t) монотонно увеличивается до K.
- Популяция N(t) монотонно уменьшается до K.
Эта модель обеспечивает алгебраически простую и предварительную качественную идею для дальнейшего развития и реалистичных форм [30]. Последующая литература, касающаяся популяций, была сосредоточена на росте популяций людей, животных, растений, бактерий, клеток и вирусов. Большая часть этого исследования была связана с простыми нелинейными функциями непрерывного и дискретного характера, а также с использованием решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) [46]. Дифференциальные уравнения широко использовались в этих моделях из-за к тому, что их легче анализировать и понимать, чем дискретные и стохастические модели, а также к тому, что они являются эффективными формами отслеживания поведения роста. Ниже приведены некоторые дополнительные хорошо известные модели, которые использовались в популяционных исследованиях: