Исследование резонанса напряжений

Исследование резонанса напряжений

Это явление наблюдается в электрической цепи с последовательным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. Условием резонанса напряжения является:

(1)
где Z представляет собой полное комплексное сопротивление цепи.
Исследование резонанса напряжений будем проводить на примере простейшей цепи с последовательным соединением r, L, C так называемого последовательного колебательного контура (Рис.1).

Комплексное сопротивление этой цепи равно:

В соответствии с (1) резонанс напряжений наступает цепи, если:
(2)
Из последнего выражения определяется так называемая резонансная частота, то есть частота, при которой в рассматриваемой цепи возникает резонанс напряжений:
(3)
Выражение для амплитуды тока в последовательном колебательном контуре выглядит следующим образом:

В режиме резонанса напряжения  , |Z| достигает минимума, равного r, а амплитуда тока достигает максимума и становиться равной I₀:

В контурах с малыми потерями при  амплитуда тока может достигать весьма больших усилений. Это и объясняет то обстоятельство, что рассматриваемый режим работы цепи получил название резонанса.
Комплексные амплитуды напряжения на индуктивности и емкости на резонансе соответственно равны:

(4)
Так как в режиме резонанса напряжения в соответствии с (2) индуктивное и емкостное сопротивления равны, то из (4) следует:

Что иллюстрируется векторной диаграммой, изображенной на рис.2:

Такое соотношение, которое устанавливается между  и  в режиме резонанса напряжений объясняет наличие термина «напряжений» в названии данного режима.
Следствием равенства  , является тот факт, что напряжение на участке цепи L – C в резонансе напряжений:

Последнее равенство свидетельствует о весьма интересной картине, когда напряжение на отдельных элементах цепи (в данном случае на L и C) существует, а на участке цепи, содержащем их последовательное соединение равно нулю.
Таким образом, в режиме резонанса напряжений эквивалентная схема цепи, изображенной на рис.1, выглядит следующим образом (Рис.3).

Это же непосредственно следует из равенства (2), иллюстрирующее условие резонанса напряжений: реактивная часть комплексного сопротивления цепи в этом случае обращается в ноль.
Энергетические соотношения при резонансе напряжений
Рассмотрим вопрос о распределении энергии между элементами электрической цепи Рис.1 в режиме резонанса напряжений.
Пусть в этом режиме ток в цепи выражается как:

Соответственно напряжение на емкости:

Мгновенные значения энергии магнитного и электрического полей соответственно равны:

(5)
Покажем что при резонансе напряжений максимумы энергии магнитного поля в индуктивном  и электрического поля в емкости  равны.
В самом деле рассмотрим разность:

Так как при резонансе напряжений  вынесем за скобки  :
(6)
В рассматриваемом режиме, как было показано выше, между величинами  и  существует соотношение:  . Так как  , а  , из этого следует, что в резонансе напряжений  . Принимая это во внимание, а так же, что  , можно заключить, что как следует из (6)
,
что и доказывает искомое утверждение.
На рис.4 изображены зависимости величин W_L и W_C от времени t.

Как следует из рис.4 при резонансе напряжений происходит непрерывное перераспределение энергии (энергообмен) магнитного поля в индуктивности и энергии электрического поля в емкости. При этом суммарная энергия:

Таким образом, в режиме резонанса напряжений периодически происходит равный энергообмен между индуктивным и емкостным элементом, когда энергия, первоначально накоплена в контуре, «колеблется» между L и C , без участия в этом процессе источника. При этом вся электрическая энергия, поступающая в цепь в режиме резонанса напряжений, расходуется в сопротивлении. Для контура без потерь (r=0) в режиме резонанса в цепь не поступала бы энергия от источника.
Частотные характеристики последовательного колебательного контура
Комплексное сопротивление последовательного контура (рис.1) можно представить в следующем виде:
(7)
С другой стороны  , а  , где φ – фазовый сдвиг тока относительно приложенного напряжения. В соответствии с (7):
(8)
Последнее выражение называется фазо-частотной или фазовой характеристикой (ФЧХ).
Эта же зависимость представлена в виде графика φ(ω) на рис.5:

Зависимость φ(ω) обращается в ноль при ω=ω₀, что полностью соответствует режиму цепи (резонанс напряжений), который иллюстрирует рис.3. Для ω<ω₀ φ становиться отрицательной, что соответствует емкостному характеру цепи, а для ω>ω₀ φ является положительной, что соответствует индуктивному характеру цепи.
Зависимость амплитуд тока и напряжений на емкости и индуктивности называют амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ).
Выражения для этих значений можно представить в следующем виде:



На рис.6 представлены зависимости этих величин от частоты:

Как и следовало ожидать, ток достигает максимума, равного  , в режиме резонанса напряжений (ω=ω₀). В этом же режиме U_L= U_C и ω стремиться к бесконечности. При ω стремящейся к нулю, ток стремиться к нулю. Это связано с тем обстоятельством, что в первом случае неограниченно возрастает емкостное, а во втором случае индуктивное сопротивление.
Из выражения (1) следует, что настройка контура в резонанс может достигаться за счет изменения частоты генератора, индуктивности или емкости элементов цепи. Первый вариант рассмотрен выше и иллюстрируется рис.5,6.
На рис.7 изображены зависимости тока в последовательном колебательном контуре от индуктивности и емкости цепи.

При значении  цепь переходит в режим резонанса напряжений. Такая же ситуация происходит при  .
Добротность последовательного колебательного контура
По определению добротность колебательного контура – это величина, которая определяется следующим выражением:
(9)
где W_max – максимальная энергия, запасенная в контуре на резонансной частоте, P – мощность активных потерь при тех же условиях.
На резонансе напряжений  . В то же время  .
Таким образом, выражение для добротности контура приобретает следующий вид:
(10)
где  получила название характеристического сопротивления контура.
Из выражения (10) следует, что добротность характеризует степень превышения реактивных сопротивлений  и  над активным сопротивлением r.
Учитывая что  , а  в соответствии с (10) получим:
(11)
Из (11) следует, что:
(12)
то есть добротность рассматриваемого контура определяется отношением напряжения на L или С при резонансе к величине приложенного к контуру напряжения.

На рис.8 изображены зависимости тока от частоты для двух последовательных колебательных контуров с одинаковой резонансной частотой и разными значениями добротности, причем Q₁>Q₂. Таким образом, как это следует из рис.8, добротность может характеризовать так же степень «остроты» резонансной кривой тока вблизи резонансной частоты в последовательном колебательном контуре.

Задача 1
В схеме электрической цепи рис.1 r=10 Ом L=1 Гн, С=1 мкФ. Определить резонансную частоту ω₀, добротность контура Q, а так же амплитуду синусоидального напряжения на емкости U_C, если на вход цепи подано синусоидальное напряжение с амплитудой 10 мВ на резонансной частоте.
Решение:
В соответствии с (3) резонансная частота контура  рад/с. В соответствии с (12) амплитуда напряжения на емкости  В.
Задача 2

Цепь изображенная на рис.9, находится в режиме резонанса напряжений. Значение резонансной частоты f₀=50 Гц. Значение соответствующих амплитуд напряжений и тока в контуре: U=220 В, U_rL=204 В, U_C=180 В, I=4 А. Определить параметры индуктивной катушки – r, L, емкость С и сопротивление r₁.
Решение:

1. 
   На резонансе напряжений  и  отсюда  Гн
   
2. 
   Напряжение на емкости  отсюда  мкФ
   
3. 
   Комплексная амплитуда напряжения на катушке  отсюда  Ом
   
4. 
   В резонансе (в соответствии с рис.3)  отсюда  Ом
   

Задача 3
При частоте  Гц сопротивление катушки равно 41 Ом, а при постоянном токе – 9 Ом. При какой частоте наступает резонанс, ели последовательно с катушкой включен конденсатор емкостью C=51 мкФ.
Решение:
Комплексное сопротивление катушки (последовательное соединение r и L) равно:

Модуль Z:  здесь  r=9 Ом отсюда  Гн. Резонансная частота  Гц.
Задача 4
Последовательный колебательный контур (r, L, C) подключен к синусоидальной ЭДС с амплитудой E=1,6 В и внутренним сопротивлением R=16 Ом. При какой величине сопролтивления контура r в нем выделится максимальная активная мощность при резонансе напряжений и чему она будет равна.
Решение:
В режиме резонанса напряжений контур эквивалентен активному сопротивлению r. Поэтому в данном режиме цепь будет содержать источник ЭДС с внутренним сопротивлением и активное сопротивление контура.

В соответствии с теоремой о максимальной активной мощности в нагрузке, в нагрузке выделиться максимальная активная мощность, если  , где  и  комплексные сопротивления генератора и нагрузки соответственно. Так как в данном случае  , а  , то при r=R=16 Ом в активном сопротивлении контура при резонансе будет выделяться максимальная активная мощность:

где  и  - действующие значсения переменного ока и ЭДС:  ,  отсюда P=20 мВт.