|
4-§. Tekislikning umumiy tenglamasi va uning xususiy hollari.
Faraz qilaylik , fazoda Dekart koordinatalar sistemasi ,𝑃 , , )
hamda 𝑄( , , ) nuqtalar berilgan bo’lsin . Bu ikki nuqtadan bir xil
masofada joylashgan nuqtalarning geometric o’rni tekislikni ifodalaydi.
Bu tekislikda ixtiyoriy 𝑀𝑥,𝑦,𝑧 nuqtani olaylik . Ikki nuqta orasidagi
masofani topish formulasiga ko’ra
𝑀𝑃= + + ,
𝑀𝑄= + +
bo’ladi . Agar 𝑀𝑃 = 𝑀𝑄 bo’lishini e’tiborga olsak , unda
+ + = + +
Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga oshiramiz: + + −2 𝑥−2 𝑦− 2 𝑧+ + + =
= + + −2 𝑥−2 𝑦− 2 𝑧+ + +
Bu tenglikni quyidagicha ham yozish mumkin
2( − )𝑥+2( − )𝑦+2( − )𝑧+ + + − - - =0
𝐴=2( − ) , 𝐵=2( − ) , 𝐶=2( − ),
𝐷= + + − - - belgilashlarni kiritsak , ushbu
𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0 (1)
Tenglamaga kelamiz. (1) tenglama fazoda tekisliknig umumiy tenglamasi
deyiladi.
Tekislikning umumiy tenglamasi ko’rinishi: Ax+By+Cz +D=0
Agar tenglamada ozod had bo’lmasa , tekislik koordinatalar boshidan
o’tadi. Ya’ni : D=0 bo’lsa , tenglamaning ko’rinishi : Ax+By+Cz=0
bo’ladi va koordinatalari x= 0 y= 0 z= 0 bo’lgan nuqta bu tenglamani
qanoatlantiradi . Demak , bu holda tekislik koordinatalar boshidan o’tadi.
C=0 bo’lsa, bu tenglamaning ko’rinishi : Ax+By+D=0 bo’ladi . Bu
tenglama xOy tekislikda to’g’ri chiziq ifoda qiladi ; z ning o’zgarishi
natijasida bu to’g’ri chiziqdan OZ o’qiga parallel tekislik hosil bo’ladi.
Shunga o’xshash B=0 bo’lganda Ax+Cz+D=0 tenglama OY o’qiga
parallel tekislikni ifoda qiladi va A=0 bo’lganda By+Cz+D=0 tenglama
OX o’qiga parallel tekislikni ifoda qiladi . Umumiy qilib aytganda ,
agar tenglamada uchala koordinatadan birortasi qatnashmasa , tekislik
shu qatnashmagan koordinataga tegishli o’qqa parallel bo’ladi . Agar
tenglamada ozod had va koordinatali hadlardan birortasi bo’lmasa ,
unda tekislik shu qatnashmagan koordinata o’qidan o’tadi.
A=0 , B=0 bo’lsin , bu holda tenglama Cz+D=0 yoki z=−D/C
ko’rinishni oladi.
Bu tekislik XY tekislikdan h=−D/C masofa uzoqdan o’tadi.
B=0 , C=0 bo’lsin . Bu holda tenglama Ax+D=0 yoki x=−D/A
ko’rinishida bo’lib , YZ tekislikka parallel , undan h=−D/A masofa
uzoqlikda yotgan tekislikni tasvirlaydi.
A= 0, C=0 bo’lsin . Bu holda tenglama By+D=0 yoki y=−D/B
ko’rinishida bo’lib , XZ tekislikka parallel , undan h=−D/B masofa
uzoqlikda yotgan tekislikni ifodalaydi.
Umumiy qilib aytganda , agar tenglamada koordinatali hadlaridan
ikkitasi bo’lmasa , tekislik shu qatnashmagan koordinata o’qlarini o’z
ichiga olgan koordinatar tekisligiga parallel bo’ladi . Agar tenglamada
koordinatali hadlardan ikkitasi va ozod had bo’lmasa , u holda tekislik
koordinata tekisliklarining birortasi bilan ustma – ust tushadi . Nihoyat,
agar tenglamada uchala koordinatali hadlar bo’lmasa , ozod had esa
noldan farqli bo’lsa bunday tenglamaning ma’nosi bo’lmaydi.
Ammo quyidagicha qarash ham mavjud : Agar uchala koordinataning
Oldidagi koeffitsiyentlari nolga aylansa , ya’ni A=0 , B=0 , C=0 bo’lsa
tenglamaning ko’rinishi D=0 yoki D ga qisqartirilsa , 1=0 bo’ladi . Bu
tenglamaning ma’nosi bo’lmasada , lekin unga shartli ma’no beriladi . Bu
holni tekshirish uchun tekislikning koordinata o’qlaridan kesgan
kesmalarining ifodasini olamiz : a=−D/A ,b=−D/B , c=−D/C A,B,C nolga
intilganda a,b,c cheksizlikka intiladi . Ya’ni tekislikning koordinata
o’qlaridan kesgan kesmalari cheksizlikka intiladi . Shuning uchun yoki
1=0 tenglama cheksiz uzoqlashgan tekislikning tenglamasi bo’ladi .
Tekislikning umumiy tenglamasini quyidagi jadval orqali tekshirish
qulayroq :
Koordinatalar boshidan o’tadi : D=0 , Ax+By+Cz=0
OX o’qqa parallel : A =0, B y + C z + D = 0
OY o’qiga parallel : B=0, A x +C z + D = 0
OZ o’qiga parallel: C=0, A x + B y + D = 0
OX o’qdan o’tadi: A=D=0, B y + C z = 0
OY o’qdan o’tadi B=D=0, A x + C z = 0
OZ o’qdan o’tadi C=D=0, A x + B y = 0
XY tekisligiga parallel: A=B=0, C z + D = 0
YZ tekisligiga parallel : B=C=0, A x +D = 0
XZ tekisligiga parallel : A=C=0, B y +D = 0
XY tekisligi bilan ustma-ust tushadi: A=B=D=0, C z = 0
YZ tekisligi bilan ustma-ust tushadi : B=C=D=0, A x = 0
XZ tekisligi bilan ustma-ust tushadi : A=C=D=0, B y = 0
Do'stlaringiz bilan baham: | 
