Iqtisodiyotdagi matematik usullar

4 Iqtisodiyotdagi optimallashtirish masalalariga misollar.

Bu yerda iqtisodiy mazmundagi bir necha optimallashtirish masalalarini qaraymiz va ularning yechimlarini keltiramiz.

1. 
   masala. Tunukadan berilgan V hajmli konserva bankasi tayyorlanmoqda. Banka o‘lchamlari qanday bo‘lganda uni tayyorlash
   

uchun ketadigan metal xarajati minimal bo‘ladi? Bankalarni tayyorlash texnologiyasi nimaga yo‘naltirilganda u rentabel bo‘lishini aniqlang.
Yechish. Berilgan V hajmli bankaning optimal o‘lchamlari uni tayyorlash uchun ketadigan material miqdori eng kam bo‘lishidan, ya’ni bankaning to‘la sirti S minimal bo‘lish shartidan aniqlanadi.
Faraz qilaylik, banka balandligi h va radiusi r bo‘lgan to‘g‘ri

doiraviy silindr formasida bo‘lsin. U vaqtda uning to‘la sirti
S  2r ²  2rh

formula bilan aniqlanishi geometriyadan yaxshi ma’lum. Berilgan V hajmda silindr to‘la sirti minimal bo‘lishi uchun h va r orasidagi munosabat qanday bo‘lishini aniqlaymiz.

Ma’lumki silindr hajmi
V  r ²h
formula bilan aniqlanadi. Bundan

h  ^V
r ²
kelib chiqqanligi uchun to‘la sirt r o‘zgaruvchining

S  S(r)  2r ²  ^2V
r
funksiyasi ko‘rinishida ifodalanadi. Ravshanki, bu

S  S(r)
funksiyaning aniqlanish sohasi chegaralanmagan
(0,)

intervaldan iborat bo‘lgani uchun uning minimumi mavjudligi masalasiga Veyershtrass teoremasini qo‘llab bo‘lmaydi. SHunday bo‘lsada, bu funksiya minimumini aniqlash uchun uning statsionar nuqtalari (funksiya hosilasi nolga teng nuqtalar)ni topib, keyin funksiya qiymatini bu nuqtalarda taqqoslash va funksiyaning aniqlanish sohasi chegaralaridagi o‘zgarishini tadqiq etish sxemasini qo‘llaymiz.

Qaralayotgan
S  S(r)
funksiya hosilasini topamiz:
S ^(r)  4r  ^2V .
_r 2

Tushunarliki,
S ^(r)
hosila
(0,)
intervalning barcha nuqtalarida mavjud

va shu intervalning r  nuqtasida nolga aylanadi(yagona statsionar

nuftaga ega!). Shu sababli
S  S(r) ,
r (0,) , funksiya o‘zining

monotonlik xarakterini faqat
r  r₀ 
nuqtada o‘zgartiradi. Ravshankii,

r  0
va r  
bo‘lganda
S(r)  . Bulardan xulosa qilish mumikinki,

S  S(r)
funksiya
r  r₀ 
nuqtada eng kichik qiymatga ega bo‘ladi.

Endi
r₀ 
uchun quyidagini topamiz:

_ V

V

V
h₀  ₂   2³  2r₀ ^.

r_0
V ² 2


3
(2 )²