Invariantlar

2.2-§. Invariantlar yordamida ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasini soddalashtirish.

Bizga ma’lumki (2.1.1) ikkinchi tartibli egri chizig’imiz quyidagi uchta tipga ajralar edi.

I.  X ²   Y ²  a^  0 , agarda   0, 
 0 ;

1 2 33 1 2

2. 
   

 Y ²  2a^ X  0 , agarda   0, a^
 0 ;

2 13 1 13

3. 
   

 Y ²  a^  0 , agarda   0, a^
 0.

2 33 1 13

Bu hosil bo’lgan ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasidagi koeffitsentlarni invariantlar orqali ifodalaymiz. Buning uchun xarakteristik tenglamani olib uning ildizlarini invariantlar orqali ifodalaymiz

1

2
²  I   I  0
(2.2.1)

Harakteristik tenglama ildizlari invariantlar orqali ifodalanganligi uchun ular chiziqli almashtirishga nisbatan invariant bo’ladi.

1. 
   ikkinchi tartibli egri chiziq I tipga tegishli bo’lsin
   

 X ²   Y ²  a^  0

1 2 33

Viet teoremasiga ko’ra

I₂  ₁  ₂

Qaralayotgan chizig’imiz I tipga tegishli bo’lganligi uchun
₁  0,
₂  0
bo’ladi,

bundan esa
I₂  0
ekanligi kelib chiqadi. Demak (2.1.1) chiziq I tipga tegishli

bo’lishining zaruriy va yetarli sharti
I₂  0
ekan.

Endi I₃ invariantni hisoblaymiz.

^a11 I₃  a₂₁
^a31
^a12 ^a22
^a32
^a13 ^{1 0}
a₂₃  0 ₂
a₃₃ 0 0
0
0
^a3^3

 ₁  ₂  a₃^₃  I₂  a₃^₃

yoki
a^  ^I3 .

I
33
2

Bundan esa (2.1.1) chiziq I tipga tegishli bo’lsa uning tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’lishligi kelib chiqadi.

 X ²   Y ²  ^I3  0
(2.2.2)

I
1 2
2

2. 
   Faraz qilaylik (2.1.1) chizig’imiz II tipga tegishli bo’lsin.
   

 Y ²  2a^ X  0
2 13

Ikkinchi tip uchun
₁  0,
₂  0
va a₁^₃  0
bo’lganligi uchun
I₂  0
bo’ladi,

a I₃ quyidagiga teng bo’ladi.

I₃ 
0 0
0 ₂
a₁^₃ 0
^a1^3
0
0

 a^2  

13

2
 0.

Demak (2.1.1) chizig’imiz II tipga tegishli bo’lishining zaruriy va yetarli

sharti
I₂  0,
I₃  0 bo’lishi ekan.

Ikkinchi tomondan:
I₁  ₁
 ₂
 ₂ ,
a₁^₃  
bo’lganligi uchun, II tip

tenglamani invariantlar orqali ifodasi quyidagicha bo’ladi.

1
I Y ²  2
 X  0
(2.2.3)

v) Faraz qilaylik (2.1.1) chizig’imiz III tipga tegishli bo’lsin, ya’ni

₁  0,
a₁^₃  0
(2.1.1)

chiziqning III tipga tegishli bo’lishining zaruriy va yetarli sharti quyidagicha bo’ladi.

I₂  0 va I₃  0 .


K₁ -invariantni III tip uchun hisoblaymiz

K  ⁰
0 _ ₂
⁰   a^ ,

1
0 a₃^₃
0 a₃^₃
2 33

I₁  ₂ ,
^a3^3
_ K₁
I

1

Bundan esa III tip chiziq tenglamasi invariantlar orqali quyidagicha ifodalanishi kelib chiqadi.

I

1
I Y ²  ^K1  0
1
(2.2.4)

1 – misol:

Quyidagi ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasi soddalashtirilsin:

x²  8xy  7 y²  2x  8y  8  0

Yechish:

Harakteristik tenglamani tuzamiz:

²  (1 7) 1 7  4²  0

1)
²  8  9  0,   9,   1.
1 2

2. 
   Bosh yo’nalishlarni topamiz
   

tg
_ ₁  a_{11 } 9 1 _{ 2,}

1
sin ₁ 
^a12
 4


_  2 _{ }

1
cos₁   

2. 
   Endi (2.1.6) ifodadagi koeffitsentlarni hisoblaymiz
   

a₁^₁  ₁  9,
a₁^₂  0,
^a₂^{ 2  2  1};

^a1^2
 a₁₁
cos₁
 a₂₂
sin ₁   
^{ } ;

^a2^ 3
 a₁₃
sin ₁
 a₂₃
^{cos1    } ;

a₃^₃  a₃₃  8

2. 
   Berilgan chiziq tenglamasi yangi koordinatalar sistemasiga nisbatan quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi
   

9x^2  y^2  2 
x^  2 
 y^  8  0

2-misol:

Quyidagi ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasi sodda holga keltirilsin.

6xy  8y² 12x  26y 11 0

Yechish:

1. 
   Bu chiziq tenglamasini invariantlar orqali soddalashtiramiz. SHu maqsadda invariantlarni hisoblaymiz:
   

I  a  a
 0  8  8,
_{I } ^a11
^a12 _ ^0
3  9

1 11 22
2
21 22

a

a

3 8
^a11 I₃  a₂₁
^a31
^a12 ^a22
^a32
^a13 ⁰
a₂₃  3
a₃₃  6
3
8
13
 6
13  1318 1318  36  8  9 11  81 11

2. 
   Ikkinchi invariant tegishli bo’ladi.
   

I₂  0
bo’lganligi uchun berilgan chizig’imiz I tipga

v) Xarakteristik tenglamani ildizlarini topamiz

1 2
²  I  I  0

²  8  9  0,
₁  9,
₂  1.

Bu topilgan qiymatlarni I tip tenglamaga olib borib quyamiz

 X ²   Y ²  ^I3  0

I
1 2
2


9X ²  Y ²  ⁸¹  0
 9


9X ²  Y ²  9  0

yoki



1
_X 2  _Y 2 

1 9

Tenglamadan ko’rinib turibdiki, berilgan chizig’imiz giperboladan iborat ekan.

3. – misol:

Quyidagi ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasi soddalashtirilsin.

x²  2xy  y²  6x  2 y  9  0

Yechish:

a) Berilgan chiziq tenglamasi uchun invariantlarni hisoblaymiz.

I₁  a₁₁
 a₂₂

 11  2,

_{I } ^a11 ^a21
^a12 _ ¹
a₂₂ 1
^1  11  0 ;
1

2
^a11 I₃  a₂₁
^a31
^a12 ^a22
^a32
^a13 ¹
a₂₃  1
a₃₃  3
1  3
^{1 1  9  3  3  9 1  9  16} .
1 9

b) I₂  0,
I₃  0
bo’lganligi uchun berilgan ikkinchi tartibli egri chizig’imiz

II tipga tegishli bo’ladi. Uning tenglamasini yozamiz.

1
I Y ²  2  X  0

2Y ²  2
 X  0
yoki
Y ²  2
 X  0

bo’lib, bu chiziq paraboladan iborat bo’ladi.

3. – misol:

Quyidagi ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasi soddalashtirilsin.

x²  4xy  4 y²  6x 12y  5  0 .

Yechish:

1. 
   Berilgan ikkinchi tartibli egri chiziqni invariantlarini hisoblaymiz.
   

I₁  a₁₁
 a₂₂

 1 4  5,

_{I } ^a11 ^a21
^a12 _ ¹
a₂₂  2
^{ 2}  4  4  0 ;
4

2
^a11
^a12
^a13
1  2  3

I₃  a₂₁
^a22
a₂₃   2 4
^{6  20  36  36  36  36  20  0}.

^a31
^a32
a₃₃  3 6  5

2. 
   Ikkinchi va uchinchi invariantlar
   

I₂  0,
I₃  0
bo’lganligi uchun berilgan

chizig’imiz III tipga tegishli bo’ladi. Endi K₁ invariantni hisoblaymiz

1
_{K } ^a11
^a13 _ ^a22
^a23 _ ¹
 3 _ 4
⁶  5  9  20  36  70

^a31
^a33
^a32
^a33
 3  5
6  5

v) Uchinchi tip tenglamani yozamiz


^{I Y 2  K1  0 ,} 5Y ²  ^{ 70}  0 ^yoki Y ²  ¹⁴  0

I

5

5
1
1

Tenglamadan ko’rinib turibdiki berilgan chizig’imiz o’zaro parallel to’g’ri chiziqlardan iborat bo’lar ekan.

XULOSA.

Ushbu bitiruv malakaviy ishi ikkita bobdan va to’rtta paragrafdan iborat.Birinchi bobni birinchi paragrafida chiziq haqida ma’lumotlar keltirilgan.Ikkinchi paragrafida esa ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamalariga to’xtalib o’tilgan va ularni kanonik tenglamalari keltirib chiqarilgan.

Ikkinchi bob asosan ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamalarini soddalashtirishga bag’ishlangan bo’lib, birinchi paragrafida ikkinchi tartibli egri chiziqni invariantlari o’rganilgan.Ikkinchi paragrafida esa ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamalari invariantlar yordamida soddalashtirilib,ularni tiplarga ajratilgan.Har bir paragrafga doir misollar keltirilib,ularni yechish usullari ko’rsatilgan.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.

1. 
   И.А.Каримов. Баркамол авлод - Ўзбекистон тараққиётининг пойдевори. Тошкент:-1998 й.
   
2. 
   Ўзбекистон Республикасининг Кадрлар тайёрлаш миллий дастури.
   

Тошкент: 1997.

3. 
   Н.Д.Дадажонов,М.Ш.Жўраева.Геометрия 1-қисм. Тошкент, ”Ўқитувчи”,1996-йил.
   
4. 
   Т. А. Азларов, Математикадан қўлланма. 1 қисм .Ўқитувчи нашриёти Тошкент -1979
   
5. 
   П.С.Александров. Лекции по аналитической геометри. Москва,”Наука”,1968-год.
   
6. 
   С. И. Гелъфонд ва бошқалар. Элементар математика масалалари.
   

Ўқитувчи нашриёти, Тошкент – 1970

7. 
   И.Я.Бакельман.Аналитик геометрия ва чизиқли алгебра.Тошкент,”Ўқитувчи” ,1978-йил.
   
8. 
   www.ziyonet.uz.
   

9. 
   www.mathedu.ru
   

10. 
    www.mccme.ru