Invariantlar

Parabola

1. 
   Ta’rifi. Kanonik tenglamasi. Tekislikda har bir nuqtasidan berilgan nuqtagacha va berilgan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan mpsofalari o’zaro teng bo’lgan barcha nuqtalar to’plami parabola deb ataladi. Berilgan nuqta berilgan to’g’ri chiziqda yotmaydi deb olinadi. Berilgan nuqta parabolaning fokusi, berilgan to’g’ri chiziq esa parabolaning direktrisasi deyiladi.
   

Parabolaning fokusi va direktrisasini mos ravishda F va d bilan, fokusdan direktrisagacha bo’lgan masofani p bilan belgilaymiz. Ta’rifdan foydalanib, parabolatenglamasini keltirib chiqaraylik: buning uchun dekart reperini quyidagicha tanlaymiz: abstsissalar o’qi deb F nuqtadan o’tuvchi va d to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni qabul qilamiz, uning musbat yo’nalishi ko’rsatilgandek bo’lib, abstsissalar o’qining d to’g’ri chiziq bilan kesishgan nuqtasi N bo’lsin. Ordinatalar o’qini FN kesmaning o’rtasidan

o’tkazamiz. Tanlangan reperda direktrisa tenglamasi koordinatalarga ega bo’ladi.
x   ^p ,
2
F ^{fokus esa}
 ^p , ⁰
2

Parabolaning ixtiyoriy nuqtasi
M x, y
bo’lsin. M nuqtadan direktrisaga

tushirilgan perpendikulyarning asosini L bilan belgilaylik. U holda parabolaning ta’rifiga ko’ra

pF, M   pL, M .	(1.2.41)
(1.2.41) tenglikni koordinatalarda ifodalaylik. Ikki nuqta formulasiga ko’ra	orasidashi	masofa

pF , M   ;

pL, M  
 x  .

Bu qiymatlarni (1.2.41) munosabatga qo’yamiz:
 x  . (1.2.42)
(1.2.42) tenglama parabolaning tanlangan reperga nisbatan tenglamasidir, chunki uni faqat parabolada yotgan nuqtalarning koordinatalarigina qanoatlantiradi.
(1.2.42) tenglamani soddaroq ko’rinishga keltiramiz. Buning uchun uning ikkala tomonini kvadratga ko’tarib, ixchamlaymiz:

 ^p 2
 ^p 2
 ^p 2
 ^p 2

 ^{x }  ^{ y 2 }  ^{x }
 ^{yoki
x2  px }   ^{ y 2  x2  px }   ^.

 ² 
 ² 
 ² 
 ² 

bundan

y ²  2 px (1.2.43)

(1.2.43) tenglamani (1.2.42) tenglamaning natijasi sifatida keltirib chiqardik.

Endi o’z navbatida (1.2.42) tenglamani (1.2.43) tenglamaning natijasi sifatida keltirib chiqarish mumkinligini ko’rsatamiz. Buning uchun koordinatalari

(1.2.43) tenglamani qanoatlantiradigan har bir nuqta parabolaga tegishli ekanini

ko’rsatish kifoya.
M₁ x₁ , y₁ 
nuqtaning koordinatalari (1.2.43) tenglamani

qanoatlantirsin, ya’ni
y ²  2 px sonli tenglik bajarilsin. SHu bilan birga

1 1


x   ^{p tenglamaga ega bo’lgan d to’g’ri chiziq va F  p , 0 nuqta berilgan bo’lsin.}

 

2
²  


M₁ nuqtaning F va d dan bir xil masofada turishini ko’rsatishimiz kerak:
pF, M₁   .

va


pL, M₁  
x₁  .

Bu tengliklarga
y ²  2 px ni qo’ysak,

1 1

pF, M₁  
  x₁ 
 pL, M₁ .

Bundan
 M₁
nuqta parabolaga tegishli. Demak, (1.2.43) parabola tenglamasi

bo’lib, u kanonik tenglama deyiladi.

2. 
   Parabola shakli. Parabolaning shaklini uning (1.2.43) tenglamasiga ko’ra tekshiramiz.
   

y²  0 va
p  0
bo’lgani uchun
y ²  2 px
tenglamada
x  0 bo’lishi kerak.

Bundan (1.2.43) parabolaning barcha nuqtalari o’ng yarim tekislikda joylashganligi kelib chiqadi;

x  0 da (1.2.43)  y  0  parabola koordinatalar boshidan o’tadi.
Koordinatalar boshi parabolaning uchi deyiladi;

x ning har bir
x  0 qiymatiga y ning ishoralari qarama-qarshi, ammo

absolyut miqdorlari teng bo’lgan ikki qiymati mos keladi. Bundan parabolaning

Ox o’qqa nisbatan simmetrik joylashganligi aniqlanadi. Ox o’q parabolaning
simmetriya o’qi deyiladi. U shu bilan bir vaqtda parabolaning fokal o’qi hamdir.

(1.2.43)  y  
. Bu tenglamadan ko’rinadiki, x ortib borsa,
y ham

ortib boradi, ya’ni
x   da
y   . Ko’rsatilgan bu xossalarga asoslanib

parabolaning shaklini 13-chizmadagidek taxmin qilish mumkin.

13-chizma 14-chizma

Parabolaning tenglamasini hosil qilish uchun dekart reperini maxsus tanladik, ya’ni Ox o’qni fokus orqali direktrisaga perpendikulyar qilib o’tkazdik. Agar dekart reperini boshqacha usulda tanlasak, albatta, parabolaning tenglamasi ham (1.2.43) ko’rinishdan farqli bo’ladi. Masalan, agar parabola koordinatalar sistemasiga nisbatan 14-chizmada ko’rsatilgandek joylashgan

bo’lsa, uning tenglamasi
x²  2 py ko’rinishda bo’ladi. 13 va 14-chizmalarda

tasvirlangan parabolaning tenglamalari mos ravishda
x²  2 py ko’rinishda bo’ladi.
y ²  2 px ,

15-chizma 16-chizma

Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasi

Tekislikda biror affin (yoki dekart) reperda koordinatalari

a x²  2a xy  a y²  2a x  2a y  a  0
(1.2.44)

11 12 22 10 20 00

tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli chiziq deb

atalishi ma’lum. Bunda
^a11^{, a}12^{, a}10^{, a}20^{, a}00
koeffitsentlar haqiqiy sonlar bo’lib,

a₁₁, a₁₂ , a₂₂ lardan kamida bittasi noldan farqlidir (bu shartni bundan buyon

• 
  a
  

a

• 
  a
  

2 2

22
11 12
²  0 ko’rinishda yozamiz).

Biz uchta chiziq: ellips, giperbola va parabolani o’rgandik, bu chiziqlar ham ikkinchi tartibli chiziqlardir, chunki (1.2.44) tenglamada

a  ¹ , a  ¹ , a
 1^{bo’lib, qolgan barcha koeffitsentlar nolь bo’lsa, u}

11 _a2 22 _b2 00

ellipsning kanonik tenglamasi, shu shartlarda yana
^a22
  ¹
_b2
bo’lsa, (1.2.44)

tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi,
a₁₀  p; a₂₂  1
bo’lib, qolgan

koeffitsentlar nolь bo’lsa, (1.2.44) tenglama parabolaning kanonik tenglamasidir.

Quyidagi tabiiy savol tug’iladi: tekislikda ko’rilgan bu chiziqlardan boshqa yana ikkinchi tartibli chiziqlar bormi? Bu savolga quyida javob berishga harakat qilamiz. Avvalo shuni ta’kidlaymiz: bizga ma’lumki, chiziqning tartibi koordinatalar sistemasining olinishiga bog’liq emas. Bundan foydalanib,
koordinatalar sistemasini tegishlicha tanlash hisobiga barcha ikkinchi tartibli

chiziqlar to’la geometrik tavsiflab chiqamiz. Ikkinchi tartibli  chiziq
  0,i^→, ^→j 

dekart reperida (1.2.44) umumiy tenglamasi bilan ifodalangan bo’lsin. SHunday reperni tanlaymizki, unga nisbatan  chiziqning (1.2.44) tenglamasi mumkin qadar sodda – “kanonik” ko’rinishga ega bo’lsin, ya’ni

1. 
   o’zgaruvchi koordinatalar ko’paytmasi qatnashgan had bo’lmasin;
   

2. 
   birinchi darajali hadlar soni eng oz bo’lsin (iloji bo’lsa, ular butunlay qatnashmasin);
   
3. 
   mumkin bo’lsa, ozod had qatnashmasin.
   

Agar (1.2.44) tenglamada
a₁₂  0 bo’lsa, soddalashtirishni quyidagicha

bajaramiz.  reperning o’qlarini 0 nuqta atrofida ixtiyoriy ^ burchakka burib,

yangi
 ^  0,i^→, ^→j 
dekart reperini hosil qilamiz.  reperdan  ^ reperga o’tish

formulalari

^{x  xcos  ysin  ,}


^ y  x^sin   y^cos

(1.2.45)

dan x, y ni (1.2.44) ga qo’ysak va o’xshash hadlarini ixchamlasak,  chiziqning (1.2.44) tenglamasi  ^ reperda ushbu ko’rinishni oladi:

a^ x^2  2a^ x^y^  a^ y^2  2a^ x^  2a^ y^  a^
 0 , (1.2.46)

11 12 22 10 20 00

bunda:

^a1^1
 a₁₁
cos²   2a
cos sin   a₂₂
sin ²  ,

12
^a1^2
 a₁₁
sin  cos  a₁₂
cos²   a
sin ²   a
sin  cos , (1.2.47)

12

22
^a22
 a₁₁
sin ²   2a
sin  cos  a₂₂
cos²  ,

12
a₁^₀  a₁₀ cos  a₂₀ sin ,
a₂^₀  a₁₀ sin   a₂₀ cos,
a₀^0  a₀₀ .

(1.2.47)belgilashlardan ko’rinadiki, (1.2.46) tenglamadagi

a₁^1, a₁^2, a_{2 2} koeffitsentlar (1.2.44) tenglamadagi
a₁₁, a₁₂ , a₂₂ koeffitsentlarga va

^ burchakka bog’liq, shu bilan birga chunki
a₁^1, a₁^2, a^22 ning kamida biri noldan farqli,

cos² 

• 
  sin  cos
  

2
2 cos sin  cos²   sin ² 
sin ² 
sin  cos
2
cos² 
  ¹ sin 2
2
sin 2 cos 2
sin ² 
¹ sin 2 
2

sin 

• 
  2sin  cos
  

cos 
sin ² 

• 
  sin 2
  

cos² 

cos² 
  ¹ sin 2 2
1
sin 2 cos 2
0
sin ² 
¹ sin 2
2
1
cos² 
  ¹ sin 2 2
1
sin 2 1
cos 2 0 
0 2

 2 cos²  cos 2  cos 2  sin ² 2  cos 2 2 cos²   sin ²   cos²   sin ² 2 
 cos 2  cos 2  sin ² 2  1  0.


^ burchakning ixtiyoriyligidan foydalanib, uni shunday tanlab olamizki,

almashtirilgan (1.2.46) tenglamadagi
a₁^2 koeffitsent nolga teng bo’lsin, ya’ni

^a1^2
 a₁₁
sin  cos  a₁₂
cos²   a
sin ²   a
sin  cos 

12

22
 a₁₁ cos  a₁₂ sin  sin   a₂₁ cos  a₂₂ sin  cos  0

yoki

a₁₁ cos  a₁₂ sin _ a₂₁ cos  a₂₂ sin _{. (1.2.48)}
cos sin

(1.2.48) munosabatni biror  ga tenglab, uni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

^{a11   cos  a12 sin   0,}


_a₂₁ cos
  a₂₂
  sin   0.
(1.2.49)

Bu sistema bir jinsli, shuning uchun uning determinanti nolga teng ya’ni

a₁₁  
^a12
 0 yoki ²  a  a   a a
 a²  0

(1.2.50)

^a21
a₂₂  
11 22
11 22 12

bo’lgandagina sistema noldan farqli yechimga ega bo’ladi.

(1.2.50) tenglama  chiziqning xarakteristik tenglamasi deyiladi.

(1.2.50) tenglamaning ildizlari.

a  a 

^1,2 ^
_ 11 22 _.
2 2

a₁₂  0 bo’lgani uchun uning diskriminanti:

D  a
 a ²  4a a
 a²  a
 a ²  4a²

• 
  0 .
  

11 22
11 22 12
11 22 12

Demak, (1.2.50) tenglamaning
₁, ₂ ildizlari turli va haqiqiydir.

(1.2.48) dan


^{a11 cos  a12 sin    cos ,}
_a₂₁ cos  a₂₂ sin    sin .

(1.2.51)

tengliklarni yoza olamiz. Ularning har birini ^{cos  0} ga bo’lib ^{cos  0     }

2
 
 
va a₁^2  ^a₁₁ cos  a₁₂ sin  ^sin   ^a₂₁ cos  a₂₂ sin  ^cos  0  a₁₂  0 ,

(ya’ni a₁₂ azaldan 0 ga teng ekan) ushbuni hosil qilamiz:

tg  ^{  a11} 
^a12
^a21 _.
  a₂₂
(1.2.52)

(1.2.52) munosabatga navbat bilan (1.2.50) xarakteristik tenglamaning

₁, ₂ ildizlarini qo’yamiz:

tg
_ ₁  a_{11 ,}

a

1
12
tg
 ^{2  a11} . (1.2.53)

a

2
12

Viet teoremasiga ko’ra (1.2.50) dan

    a  a
,  
 a a  a² . (1.2.54)

1 2 11
22 1 2
11 22 12

(1.2.54) va (1.2.53) formulalardan ushbuga ega bo’lamiz:

   a
  
 a ² 

1 2

2
tg₁
 tg ₂ 
11 1 2

a
2
12
¹¹  1  
 ₁  ₂ .

Shunga ko’ra
tg Ox^
o’qning  dagi burchak koeffitsienti bo’lganda

tg ₂
 tg ^


_ 1
_ ^ 

₂ 



Oy^ o’qning shu reperdagi burchak koeffitsienti bo’ladi. U holda

Ox^ o’qning i^→ birlik vektorining koordinatalari bo’lmish
cos₁, sin ₁.

1
sin ₁  , cos₁ 

formulalardan, Oy^ o’qning

^→j ^ birlik vektorining koordinatalari

cos₂ ,

sin ₂

sin 
 sin^  ^{ }  cos ,
cos  cos^  ^{ }  sin 

2
₂  ₁ 
 
1 2 ^ 1 ^ 1

2
 

tengliklardan aniqlanadi.
  ₁ bo’lganda (60) dan

a₁₁ cos₁  a₁₂ sin ₁  ₁ cos₁,
a₂₁ cos₁  a₂₂ sin ₁  ₁ sin ₁,

u holda


a₁^₁  a₁₁ cos₁  a₁₂ sin ₁ cos₁  a₂₁ cos₁  a₂₂ sin ₁ sin ₁ 
 ₁ cos₁ cos ₁₁ sin ₁ sin ₁  

(1.2.47) munosabatda 1- va 3- tengliklarni hadlab qo’shsak,

a^  a^  a sin ²   cos²   a
sin ²   cos²   yoki a^  a^  a
 a . (1.2.54) dan

11 22 11 22
11 22
11 22

a₁₁  a₂₂  ₁  ₂ va
a₁^₁  ₁
ekanini hisobga olsak,
a^22  ₂ kelib chiqadi. Shunday

qilib, koordinatalar sistemasini (1.2.53) formuladan aniqlanuvchi

  ₁ burchakka (bu yerda
₁ yangi
Ox^ o’qning eski Ox o’qqa og’ish burchagi)

burish bilan
  0,i^→, ^→j 
reperdan shunday
 ^,  0, i^→, ^→j ^ reperga o’tish mumkinki,

unga nisbatan (1.2.44) tenglama soddalashib, ushbu ko’rinishga ega bo’ladi:

 x^2   y^2  2a^ x^  2a^ y^  a
 0 . (1.2.55)

1 2 10 20 00

Agar
Ox^ o’qning burchak koeffitsienti uchun
tg
 ^{2  11} ni qabul

a

2
12

qilinsa, u holda
a₁^₁  ₂ , a^₂₂  ₁
ekanini aynan yuqoridagi kabi ko’rsatish mumkin.

Shuni aytish lozimki, agar (1.2.44) tenglamada
a₁₂  0 bo’lsa, koordinatalar

sistemasini burish bilan almashtirishga hojat qolmaydi.

Endi  ^  ^{→ → →} reperdan shunday reperga o’tamizki, unga nisbatan
0,i , j
 chiziqning (64) tenglamasida birinchi darajali hadlar qatnashmasin. Bu ishni koordinatalar boshini ko’chirish bilan bajarish mumkin.

(1.2.55) tenglamada
₁, ₂ koeffitsientlarning kamida biri noldan farqli,

chunki agar
₁  ₂  0 bo’lsa, (1.2.55) tenglama birinchi darajali tenglamaga

aylanar edi. Demak, bu yerda quyidagi uch hol bo’lishi mumkin:

1. ₁  0,
₂  0 ₁₂  0

Bu holda    a a  a²  a a  a²
 0 . (1.2.55) tenglamaning chap

1 2 11 22 12 11 22 12

tomonidagi hadlarni
x^, y^
ga nisbatan to’liq kvadratga keltiramiz:

^ a^
a^{2  }
a^ a^{2 }
a^2
a^2






 ^ x^2  2  ¹⁰ x^  ^{10 }   ^ y^2  2  ²⁰ y^  ^{20 }  ¹⁰  ²⁰  a
 0 ,







1



1


_ 1 ^{2 2}
₂ 00
2 2 1 2

bundan

^ a^{ }2 ^ a^{ }2

 _
 ^ x^  ^{10 }   ^ y^  ^{20 }
 a^
 0 , (1.2.56)

2

1
 ^1  
00
2

a^2 a^2

bu yerda a^  a
_ 10 _ 20 _.




00 00
1 2


Endi 0, i^→, ^→j^ ni u quyidagi formula bilan aniqlanadigan parallel ko’chirishni bajaraylik:


^X  x^  ^a10 ,

 _1
^ a^
(*)

^Y  y^  ²⁰ .
^{ }2

U holda yangi 0^, i^→, ^→j^ reper hosil bo’lib, chiziqning tenglamasi soddalashadi:

 X ²   Y ²  a^  0. I

1 2 00

2. ₁  0₂  0,
a₁^₀  0
yoki ₂  0
₁  0,
a^₂₀  0.

Bu hollardan birini ko’rsatish yetarli; chunki

^{x  y,}


^ y  x^

Almashtirish yordamida ularning birini ikkinchisiga keltirish mumkin.

Birinchi holni qaraymiz:

₁  0^₂  0^ ni hisobga olib, (1.2.55) tenglamaning chap tomonidagi hadlarni y^ ga nisbatan to’liq kvadratga keltiramiz:

^ a^
a^{2  } a
a^{2 }

 ^ y^2  2  ²⁰ y^  ^{20 }  2a^{ } x^  ⁰⁰  ^{20 }  0.





2


 ^2
₂ 10
2
2a₁^₀
2a₁^₀_{2 }

yoki

^ a^{ }2

 ^ y^  ^{20 }
2 _
 2a₁^₀ x^  a^  0,

 2 


a a^2

bunda
_{a } 00 _ 20
belgilashni kiritdik.

2a₁^₀ 2a₁^₀₂

Ushbu

 ^{X  x  a.
} a^
Y  y^  ²⁰
^{ }2

formulalar bo’yicha koordinatalar sistemasini almashtiramiz, ya’ni koordinatalar


^ a^₂₀ ^{ → →}

boshi 0 ni
O^ a^,

^ nuqtaga ko’chiramiz. U holda hosil bo’lgan 0^, i^, j^
2 

reperga nisbatan chiziqning tenglamasi ushbu sodda ko’rinishni qabul qiladi:

 Y ²  2a^ X  0. II

2 10
3. ₁  0, a₁^0  0 yoki ₂  0, a^20  0.
Bu hollar ham bir-biriga o’xshash bo’lib, shuning uchun ularning birini qarash yetarli.

oladi:
Birinchi holni qaraymiz.
₁  0, a₁^0  0 da (64) tenglama ushbu ko’rinishni

20

2
 y^2  2a^
y^  a₀₀
 0,
(1.2.57)

bu yerda
₂  0 bo’lgani uchun (1.2.57) ni quyidagicha yozish mumkin:

^ a^ a^{2 } a^2
 ^ y^2  2  ²⁰ y^  ^{10 }  ²⁰  a  0

2 00
 ^2
₂^ _ ₂

yoki

^ a^{ }2

 ^ y^  ^{20 }
2 _
 a₀^₀
 0,

 2 

bunda

^a0^ 0
 a₀₀
a^2
_ 20 _.


 ^{X  x}

2

→ → ^→ → →

^{Ushbu } a^{ formulalar bo’yicha 0, i, j reperdan }0^, i^, j^{ reperga
}Y  y^  ²⁰

^{ }2




^ a^₂₀ ^

o’tamiz, ya’ni koordinatalar boshi 0 ni
0^ 0,

^ nuqtaga ko’chiramiz. Yangi
2 

reperda  chiziqning sodda tenglamasi hosil bo’ladi:

 Y ²  a^
 0.
III

2 00