Intro to (Algebraic) Topology Algebraic topology. Computational topology: an introduction

• 
  Intro to (Algebraic) Topology
  
• 
  Algebraic topology.
  
• 
  Computational topology: an introduction.
  
• 
  Elementary applied topology. S
  
• 
  Topology and data.
  
• 
  Persistent Homology
  

Gudhi kutubxonasi bilan topologik ma'lumotlarni tahlil qilish bo'yicha qo'llanmalar
Topologik ma'lumotlarni tahlil qilish (TDA) yaqinda va tez rivojlanayotgan soha bo'lib, ehtimol murakkab ma'lumotlar uchun tegishli xususiyatlarni aniqlash uchun yangi topologik va geometrik vositalar to'plamini taqdim etadi. Bu erda biz Python Gudhi kutubxonasi bilan TDA amaliyoti uchun mashhur mashinalarni o'rganish va ma'lumotlar fanlari kutubxonalari bilan bir qatorda noutbuklarni taklif qilamiz. Masalan, ma'lumotlar faniga TDAga kirish uchun ushbu maqolaga qarang. Noutbuklarning to'liq ro'yxatini ushbu sahifaning oxirida ham topishingiz mumkin.
Python Gudhi kutubxonasini o'rnating
O'rnatish sahifasiga qarang yoki agar sizda conda bo'lsa, siz konda o'rnatishingiz mumkin.
TDA tahlil quvur liniyasi
01 - Simpleks daraxtlari va oddiy komplekslar
TDA odatda umumiy metrik fazoda yoki nuqta bulutidan topologik imzolarni olishga qaratilgan. Nuqtali bulutning topologiyasini o'rganish orqali biz aslida nuqta bulutida joylashgan to'plar birlashmalarining topologiyasini o'rganishni nazarda tutamiz, bu ham ofset deb ataladi. Biroq, ofset kabi diskret bo'lmagan to'plamlarni, shuningdek, egri chiziqlar, sirtlar va umuman manifoldlar kabi uzluksiz matematik shakllarni chekli diskret tuzilmalar sifatida osongina kodlash mumkin emas. Shuning uchun oddiy komplekslar bunday shakllarni taxminan hisoblash uchun hisoblash geometriyasida qo'llaniladi.
Sodda kompleks oddiyliklar to'plami bo'lib, ularni grafiklarning yuqori o'lchovli umumlashtirishi sifatida ko'rish mumkin. Bu topologik va kombinatsion bo'lgan matematik ob'ektlar bo'lib, bu xususiyat ularni TDA uchun ayniqsa foydali qiladi. Bu erda muammo ma'lumotlar tuzilishi haqidagi tegishli ma'lumotlarni aks ettirishi isbotlangan va amalda samarali tuzilishi va boshqarilishi mumkin bo'lgan tuzilmalarni aniqlashdir. Quyida oddiy kompleksning misoli keltirilgan:

Filtrlash - bu oddiy kompleksning kichik komplekslarining ortib borayotgan ketma-ketligi. Kompleksga kiritilgan soddaliklarni buyurtma qilish sifatida ko'rish mumkin. Darhaqiqat, oddiy komplekslar ko'pincha Vietoris-Rips komplekslari, Chex komplekslari va alfa komplekslari kabi ma'lum bir tartib bilan keladi.
Daftar: Simpleks daraxtlari. Gudhida filtrlangan sodda komplekslar simpleks daraxti deb ataladigan ma'lumotlar strukturasi orqali kodlanadi. Cho'qqilar butun sonlar, qirralar esa butun sonlar juftligi va boshqalar sifatida ifodalanadi.
Notebook: Vietoris-Rips komplekslari va ma'lumotlar nuqtalaridan alfa komplekslari. Amalda, TDA tahlil quvurining birinchi bosqichi ba'zi ma'lumotlar uchun oddiy komplekslarni filtrlashni aniqlashdan iborat. Ushbu daftar simpleks daraxti ma'lumotlar strukturasidan foydalangan holda Vietoris-Rips komplekslari va alfa komplekslarini (simpleks daraxtlari sifatida ifodalangan) ma'lumotlar nuqtalaridan qanday qurishni tushuntiradi.
Ushbu daftar oddiy komplekslarni qanday tasavvur qilishni ko'rsatadi.
Daftar: Juftlik masofasidan yirtiqlar va alfa komplekslari. Shuningdek, umumiy metrik fazolardagi Rips komplekslarini juftlik masofalari matritsasidan aniqlash mumkin. Ma'lumotlardagi metrikaning ta'rifi odatda kirish sifatida beriladi yoki dastur tomonidan boshqariladi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, metrikani tanlash ma'lumotlarning qiziqarli topologik va geometrik xususiyatlarini ochish uchun juda muhim bo'lishi mumkin. Shuningdek, biz ushbu oxirgi daftarda avval matritsada ko'p o'lchovli masshtabli (MDS) transformatsiyani qo'llash orqali juftlik masofalari matritsasidan alfa komplekslarini aniqlash usulini beramiz.
TDA imzolari nuqtali bulutlardan olinishi mumkin, ammo ko'p hollarda ma'lumotlar fanlarida savol funktsiyaning pastki darajadagi to'plamlarining topologiyasini o'rganishdir.

Yuqorida quyi to'plamda aniqlangan funksiyaga misol keltirilgan  lekin umuman funksiya  ning kichik to'plamida aniqlanadi   .
Daftar: kubik komplekslar. Funktsiyaning pastki darajali to'plamlari topologiyasini o'rganishning birinchi usullaridan biri bu muntazam panjarani aniqlashdir   va keyin bu panjara va funksiya asosida filtrlangan kompleksni aniqlash .