Interpoltatsiya

Chekli ayirmalar jadvali. Teng masofalarda yotuvchi

^x0^,x1^,x2,………… ^xi,…………… ^xn,……………….
( bu yerda x₁ - x₀ = x₂ - x₁=…………=h=const, h ni qadam deb qaraymiz ) nuqtalar uchun ushbu
^y0^,y1^,y2,………… ^yi,…………… ^yn,……………….
Javal qiymatlar bilan berilgan y=f(x) funklsiyani qaraymiz bunda
f(x₀)=y₀ f(x₁)=( x₀ +h) = y₁ f(x₂)=f(x ₂ +2h) = y₂
…………………………………….
f(x_i)=f(x₀ + ih) = y_i
………………………………………………..
Chekli ayirmalar quyidagi munosabatdlar bilan aniqlanadi:
y_n=y₁ – y₀; ²y_n= ( y₁ )= ( y₁ – y₀ ) = y₁ - y₀;
³y₀ = ( ²y₀) = ( y₁ – y₀) = ²y₂ - ²y₁
y₂ =y₂ – y₁ = ²y₂= ( y₂) = (y₂ – y₁) = y₂ - y₁
²y₁ = ( ²y₁) = ( y₂ – y₁) = ²y₂ - ²y₁
………………………………………………………….
^yi ^{= y}i+1 ^{– y}i ^2yi+1 ^{- 3y}i ^{= 2y}i+1 ^{- 2y}i
Va hakozo ⁿy_i = ^n-1y_i-1 - ^n-1y_{i .}
Turli tartibli chekli ayirmalarni ikki xil ko‘rinishgi jadvallar shaklida joylashtirish qulay: ayirmalari gorizantal jadval ( 1 va 2 – jadvallar ) va ayirmalari diognal jadvallar (3 - jadval).
dasturlash tilida qo‘llash. 1 – jadval.

x	y	y	2y	3y	4y
x0	y0	y0	2y0	3y0	4y0
x1	y1	y1	2y1	3y1	4y1
x2	y2	y2	2y2	3y2	4y2
x3	y3	y3	2y3	3y3	4y3
x4	y4	y4	2y4	3y4	4y4

Jadvani to‘ldirish n – chekli ayirmalar o‘zgarmas bo‘lib qolguncha yoki ular bir – biridan absolyut qiymatlar bo‘yicha e dan ham songa farq qiluvchi davom ettiriladi, bu yerda e – berilgan aniqlik.

3. 
   – misol. Ushbu
   

y = 2x³ – 2x² + 3x – 1
Chekli ayirmalar jadvalini boshlang‘ichi x₀ = 0 qiymat bo‘yicha va qadami h=1 deb qabul qilib tuzing.
Yechish : x₀=0 , x₁=1, x₂ =2 deb faraz qilib funksiyaning qiymatlarni topamiz y₀=- 1, y₁ =2, y₂ =13.Berilgan funksiyani uchunchi darajali ko‘pxad bo‘lgani uchun uchunchi chekli ayirma o‘zgarmas va ³y=2*3! h² =12 ga teng ,yuqori tartibli barcha chekli ayirmalar esa nolga teng.Chekli ayirmalar jadvalini tuzamiz.

2. 
   – jadval
   

x	Y	y	2y	3y	4y
0	-1	2-(-1)=3	11-3=8	11	0
1	2	13-2=11	20	11	0
2	13	31	32	11
3	44	63	44
4	107	107
5	214

Jadvalni bunda buyon to‘ldirishni endi qo‘shish yordamida amalga oshirish mumkin.
Tuzilgan jadvalni diognal shaklida ham yozish mumkin:

2. 
   – jadval
   

x	Y	y	2y	3y	4y
0	-1	3
1	2	11	8
2	13	31	20	11	0
3	44	63	32	11	0
4	107	107	44	11
5	214

2. 
   Umumlashgan daraja.Kelgusida bizga umumlashgan daraja kerak bo‘ldi.Shu tushuncha bilan tanishishimizga x va h berilgan bo‘lsin.
   

3.Tarif: x sonining umumlashgan n – darajasi deb birinchisi x gat eng bo‘lib har bir keyingisi o‘zidan oldingisidan n qadar kichik bo‘lgan n ta ko‘paytuvchining ko‘paytmasiga aytiladi:
x^[n] =x( x – h )( x – 2h )…………………..( x – ( n – 1 )h ). bu yerda x^[n] umumlashgan n – daraja x^[0] = 1 deb faraz qilamiz.
h=0 bo‘lganda umumlashgan daraja odatdagi mos bo‘ladi x^[n] = xⁿ
x=h deb faraz qilib umumlashgan darajalar uchun chekli ayirmalarni hisoblaymiz: Birinchi ayorma uchun quyidagiga egamiz y= x^[n]
y= x^[n] – ( x+h )^[n] – x^[n] – ( x+h )x( x-h )( x-2h )……( x- ( n-2 )h – x( x –h ) (x—
2h)….( x – ( n-2 )h( x – 1 )h) – x( x – h )( x - 2h )………( x-( n – 2 )h (x+h – x+( n
– 1 ) - x^[n-1] nh.
ya‘ni x^[n] =nhx^[n]
Nyuton ayirmasini hisoblab quyidagiga ega bo‘lamiz:

k k
ⁿx^[n] = ( nhx^[n-1] )=nh x^[n-1] – nh( n-1 )h_k2^[n-1] – nh( n-1 )h^[n-1] – n( n – 1 )h ^[n-2] – n( n – 1 )h ^[n-k]
ya‘ni
ⁿx^[n]=n( n – 1 )h^[n-1].
Amalarni takroran bajarib quydagiga ega natijani olamiz
ⁿx^[n]=h^tn( n – 1 )……………….( n – k+t ) x^[n-1] Xususan h=n bo‘lganda ⁿxⁿ=n!hⁿ,h>0 bo‘lganda ⁿxⁿ=0 bo‘ladi

2. 
   Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi: Aytaylik y=f(x) funksiyaning erkli o‘zgaruvchilari teng uzoqlikda yotuvchi
   

x_0, x_1, x_{2………………} x_n( bunda x₁= x₀+h , x₂= x₁+2h.....................x_n= x_n-1+nh va h – interpolyatsiya qadami ) qiymatlari uchun ushbu
y₀,y₁ ,y₂ y_n
Qiymatlari berilgan bo‘lsin x_i nuqtalarni
y_i =P_n ( x_i ) ( i= 0, n ) (1.1)
Qiymatlarni qabul qiluvchi darajasi n dan katta bo‘lgan P_n ( x_i ) ko‘phadni tanlash talab etiladi.
Shartni quyidagicha yozib olamiz:
^mP_n(x₀)= ^my₀ ( m= 0, n (1.2) Ko‘phadni quyidagi ko‘rinishda yozib izlaymiz
P_n(x)= a₀+ a₁( x – x₀ )+ a₂ (x - x₀ )(x - x₁ )+
+ a₂(x – x₀ )(x - x₁ )( x – x₀)+ … +a_n(x - x₀ )(x - x₁ ) (x – x₂ )(x – x₃ ) …( x – x_i-1)
Umumlashgan darajadan foydalanib bu ifodani quyidagich yozamiz P_n(x)= a₀+ a₁( x – x₀ )^[1] +a₂( x – x₀ )^[2] + a₂( x – x₀ )^[3] +
+ …. + a₂( x – x₀ )^[n]. (1.3)
Masala P_n( x ) ko‘phadning a₀,a₂, a₃, ,a_n koeffitsientlarini topishdan iborat.
(1.3) tenglikda x= x₀ deb faraz qilib quyidagiga ega bo‘lmiz
P_n(x₀)= y₀=a_o bunda a₀=y₀
a₁ koeffitsientni toppish uchun P_n(x) ko‘phadning birinchi chekli ayirmasini tuzamiz.
P_n(x)= a₁h + a₁2h( x - a₀)^[1] + 3 a₁h( x - a₀ )^[2] + … + a₁nh( x - a₀ )^[n-1] Bu yerda x=x₀ deb faraz qilib ,quyidagiga ega bo‘lmiz:

²P_n(x₀)= ²y₀=a₂2! ² ,bunda a₂ = Jarayoni ketma – ket takrorlab borib ,biz
y₀
2!h ²

shundan topamiz ,bu yerda 0!=1 va ⁰y₀=y₀ deymiz.
a₀,a₂, a₃, ,a_n koeffitsientlarni topillgan qiymatlarni (1.3) ifodaga qo‘yib ,
Nyutonning interpolyatsiya ko‘phadni hosil qilamiz
(1.4) ko‘phad qo‘yilgan masalaning talablari butunlay qanotlantiradi. Nyutonning

(1.4) interpolyatsiya formulasini sodaroq ko‘rish uchun y yangi q= bilan yuqoridagi soddalashtirilga ko‘rinishda yoziladi.U holda
x x₀ n
kirtish

(x x ₎[n] ^{x x}_n ^{x x}₂ ^h




x _x 2h x _x h i

0 ₌
n! ⁿ
n _…

n
n
n ₌
n

^{=q( q - 1 )( q - 2 ) …( q – i +1 ) bu yerda i=} 0, n
Bu yerda (1.4) gag a qo‘yib ,quyidagiga ega bo‘lamiz
P (x)=y +q y + ^{q(q 1)} _{y +} ^{q(q 1)(q 2)} _y ^{+ … +}

n 0
q(q
+
0


1)(q

2! ⁰

2)...(q n ¹⁾
n!
3! ⁰


y₀ (1.5)

bu yerda q=
x x₀ n
x₀ nuqtadan chiqib x nuqtaga yetguncha oraliqdagi qadamlar

sonini ifodalaydi.(1.5) formula Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasidir. Bu
formula funksifaning boshlang‘ich x₀ qiymatni atrofida interpolyatsialashda qo‘llaniladi ,bu yarda q – absolyut qiymati bo‘yicha olingan son. n=1bo‘lganda chiziqli interpolyatsiya formulasini tuzamiz:

P_n(x)= y_n +q y₀ + ^q(q
2
1) _y0

n=2 bo‘lganda parabolik yoki kvadratik interpolyatsiyasini tuzilmasiga ega bo‘lamiz
q(q 1)

P₂(x)= y₀ + q y₀ +
2
2 _y0

2. 
   – misol.Jadvalda berilgan y=f(x) fuksiya uchun Nyutonni birinchi interpolyatsiya formulasini yozing:
   

Xi	0	1	2	3	4	5
yi	5,2	8	10,4	12,8	14,0	15,2

Yechish: Chekli ayirmalar jadvalini tuzmiz

x	Y	y0	y1	y3
0	5,2	2,8	-0.4	0
1	8	2,4	-0.4	0
2	10,4	2	-0.4	0
3	12,8	1,4	-0.4
4	14,0	1,2
5	15,2

Jadvaldan foydalanib ,Nyutonning (1.5) formulasini tuzamiz:

P_n(x)=5,2+q*2.8+ ^{q(q 1)}
2
( -0.4 ) ,

Bu yerda q= ^{x 0} =x.Natijada quyidagiga ega bo‘lamiz
1

P_n(x)=5,2+2,8x- ^{x(x 1)}
2!
0,4

Izlanayotgan funksiyani yakuniy ko‘rinishni quyidagicha:
P₂(x)=5,2+2,8 x - 0,2x²
Eslatma:y=f(x) funksiya x nuqtadagi qiymatni taqribiy hisoblash uchun y=P_n(x) deb faraz qilinadi,bu yerda x nuqta x₂ nuqtaga yaqin nuqta.

2.