Informatsion texnologiyalar kafedrasi

O`ZBEKISTON   RES’UBLIKASI 
OLIY VA O`RTA MA’XSUS TALIM VAZIRLIGI 
DAVLAT  SOLIQ  QO`MITASI  
 
SOLIQ AKADEMIYaSI  
 
 
INFORMATSION  TEXNOLOGIYALAR  KAFEDRASI 
 
 
 
 
 
«Tasdiqlayman» 
O`quv va ilmiy ishlar  
bo`yicha prorektor     
_ __ __ __ __ ___ __ __  
        B . K. T u x li y ev  
      2013 y. «___»________ 
OlIY MATEMATIKA 
 
FANIDAN 
MA’RUZALAR MATNI 
 
 
Oliy ta’limning  230000 – «Biznes va boshqaruv»  ta’lim sohasidagi: 
 
5230800 – «Soliqlar va soliqqa tortish» to`rt yillik bakalavriat yo`nalishi uchun
 
 
 
Kafedraning 2013 yil __ avgustdagi 1-sonli majlis 
bayonnomasi bilan tasdiqlangan. 
 
«Informatsion texnologiyalar» kafedrasi 
mudiri _____________ K.G.Djurayeva 
 
Tuzuvchi: ____________ katta o‘qituvchi 
S.S.Nasridinov
 
 
 
 
 
TOSHKENT–2013 

Annotatsiya 
 
Mazkur ma’ruzalar to’plami 5230800 – «Soliqlar va soliqqa tortish»         
to’rt yillik bakalavriat yo’nalishida ta’lim oluvchi talabalarning «Oliy matematika» 
fanidan o’tiladigan ma’ruza mashg’ulotlari uchun mo’ljallanib, tayyorlangan.  

1-mavzu. Sonli ketma-ketlik va uning limiti. Cheksiz kichik va cheksiz katta 
sonli ketma-ketliklar. «e» soni. 
 
Reja: 
 
1.Sonli ketma-ketliklar limiti. 
2. Cheksiz kichik va cheksiz katta sonli ketma-ketliklar. 
3. «e» soni. 
 
1. Sonli ketma-ketliklar va uning limiti. 
 
 
N
-natural  sonlar  to’plamida  berilgan  funksiya  sonlar  ketma-ketligi  ekanligini,  ularni 
 

1
n
n
x
 yoki 


n
x
x
x
,
,
,
2
1
 ko’rinishlarda ifoda etilishini eslatib o’tamiz. 
 
1-ta’rif. 
0


va  a soni uchun 






a
a
,
 interval a ning 

-atrofi deyiladi. 
 Agar aqo bo’lsa, 




,

 interval qisqacha 

-atrof deyiladi. 
 
2-ta’rif. 
 

1
n
n
x
  ketma-ketlik  cheksiz  kichik  ketma-ketlik  deyiladi,  agarda  istalgan 
0


  soni  uchun, 

-atrofdan  tashqarida  ketma-ketlikning  chekli  sondagi  hadi  mavjud 
bo’lsa. Bu hol  
0



n
n
x
im

 
shaklida ifodalanib, n cheksizlikka intilganda x
n
 ning limiti 0 ga teng yoki 
n
x
 0 ga yaqinlashadi 
deb aytiladi. 
2-ta’rifni  unga  teng  kuchli  bo’lgan  o’zgacha  ko’rinishda  ham  ifodalash  mumkin.  Ya’ni 
agarda  istalgan 
0


son  uchun  shunday 
)
(

n
  natural  son  mavjud  bo’lsaki,  barcha 
 

n
n 
 natural  n soni uchun 


n
x
 tengsizlik o’rinli bo’lsa, 
0



n
n
x
im

 deyiladi,. 
Endi cheksiz  kichik ketma-ketlikka misol keltiramiz.  
1. 

,
2
,
1
,
1


n
n
x
n
    ketma–ketlikni  qaraylik,  agar 
0


  bo’lsa, 

1

n
  ya’ni 


n
1
  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  natural  sonlar  cheklita  bo’ladi,  ya’ni 




,


-
atrofdan tashqarida 








1
1
n
n
 ketma-ketlikning chekli sondagi hadi yotadi, demak  
0
1



n
im
n

 
2. 
1

q
  bo’lsin,  u  holda 
0



n
n
q
im

ekanligini  ko’rsatamiz.  Haqiqatdan  ham,  agar 
0

q
  bo’lsa 
0
0
0


im
n

  bo’lishi  o’z-o’zidan  ravshan.  Agar 
1
0

 q
  bo’lsa,  u  holda 

0


  son  uchun  quyidagini  hosil  qilamiz. 
q
n
n
n
n
q
n
n
q
q
n
n













 
(chunki 
0

q
n

).  Oxirgi  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  natural  son  cheklita  bo’ladi,  ya’ni 




,


-atrofdan  tashqarida 
 

1
n
n
q
  ketma-ketlikning  cheklita  hadi  yotadi,  demak 


1
,

q
q
 son uchun 
0



n
n
q
im

 bo’lar ekan. 
3. 
0


 son bo’lsin, u holda 
0


 son uchun, 




1
1
1









n
n
 va bu 
tengsizlikni qanoatlantiruvchi  natural sonlar cheklita,  ya’ni 



n
1
 tengsizlik cheklita  natural 
son uchun o’rinli bo’lgani uchun, ixtiyoriy 
0


 son uchun 




,


- atrofdan tashqarida 








1
1
n
n

ketma –ketlikning chekli sondagi hadi yotar ekan. Demak 
0


 son uchun  
0
1




n
im
n

 
bo’lar ekan. 
 
Endi cheksiz kichik ketma-ketliklarning xossalarini keltiramiz.  
1.  Agar 
0



n
n
x
im

  va 
0



n
n
y
im

  bo’lsa,  u  holda 
0
)
(




n
n
n
y
x
im

  bo’ladi. 
Shuni  ko’rsataylik,  haqiqatdan  ham,  agar 
2
2





n
x
  va   
2
2





n
y
 tengsizliklar 
o’rinli  bo’lsa,  u  holda 






n
n
y
x
  tengsizlik  o’rinli  ekanligi  kelib  chiqadi.  Shuning 
uchun 
0


  son  berilganda.  Shunday 
)
(
1

n
va 
)
(
2

n
  natural  sonlar  mavjudki 
1
n
n 
 
bo’lganda 
)
(
,
2
2
2



n
n
x
n




  bo’lganda 
2
2





n
y
  tengsizliklar  o’rinli 
bo’ladi,  agar 


)
(
),
(
max
)
(
2
1



n
n
n
n


  deb  olsak,  u  holda 
2
2





n
x
 
va
2
2





n
y
  tengsizliklar  bir  paytda  o’rinli  bo’ladi,  u  holda 
)
(

n
n 
  bo’lganda 






n
n
y
x
 tengsizlik kelib chiqadi. Demak 
0
)
(




n
n
n
y
x
im

 ekan. 
 
2. 
0



n
n
x
im

    ekanligidan  istalgan 

  son  uchun 
0



n
n
x
im


  ekanligi  kelib 
chiqadi.  Haqiqatdan  ham,  agar 
0


  bo’lsa, 
0
0




n
n
x
im

  ekanligi  ravshan.  Agar 
0


 bo’lsa, u holda 
0


 son uchun  shunday 
)
(

n
 natural son mavjudki 
)
(

n
n 
 

bo’lganda 







n
x
  tengsizlik  o’rinli  bo’ladi,  u  holda 
)
(

n
n 
  bo’lganda 






n
x
 ekanligi kelib chiqadi. Demak 
0



n
n
x
im


 ekan.  
3.  Agar 
0



n
n
x
im

  va 
0

n
y
im

  bo’lsa,  u  holda 
0



n
n
n
y
x
im

  bo’ladi. 
Haqiqatdan  ham, 
0


  son  uchun  shunday 
2
1
n
ва
n
  natural  sonlar  mavjudki  barcha 
1
n
n 
  uchun 


n
x
  va  barcha 
2
n
n 
  uchun 


n
y
  bo’ladi,  u  holda  barcha 










n
n
n
n
y
x
y
x
учун
n
n
n
n
2
1
0
,
max
,  ya’ni 


n
n
y
x
 
bo’lar ekan.  
Demak  
0



n
n
n
y
x
im

 
bo’lar ekan. 
 
4.  Agar 
0



n
n
x
im

  bo’lsa  ketma-ketlik  chegaralangan  bo’ladi.  Haqiqatdan  ham,  1 
soni 
 

1
n
n
x
uchun shunday 
0
n
 natural son mavjudki, istalgan 
0
n
n 
 uchun 
1

n
x
 o’rinli 
bo’ladi.  Agar  biz 
n
n
n
x
K
0
1
max



  deb  olsak,  istalgan  natural 
n
  soni  uchun   
1

 K
x
n
 
tengsizlik o’rinli bo’ladi, ya’ni 
 

1
n
n
x
 ketma-ketlik chegaralangan ketma-ketlik ekan. 
 
5.  Agar 
0



n
n
x
im

  bo’lib 
 

1
n
n
y
-chegaralangan  ketma-ketlik  bo’lsa,  u  holda 
0



n
n
n
y
x
im

,  ya’ni 



1
n
n
n
y
x
  ketma-ketlik  ham  cheksiz  kichik  ketma-ketlik  bo’ladi. 
Haqiqatdan  ham 
0

K
  son  uchun,  barcha  natural 
n
  larda 
K
y
n

  bo’lsin. 
0


  son 
uchun  shunday 
0
n
  mavjudki  barcha 
0
n
n 
  larda 
K
x
n


  bo’lsin,  u holda  barcha 
0
n
n 
 
uchun 







K
K
y
x
y
x
n
n
n
n
 tengsizlik  o’rinli  bo’ladi.  Demak     
0



n
n
n
y
x
im

 
bo’lar ekan. 
 
6. Agar barcha 
n
 larda 
n
n
y
x 

0
 tengsizlik o’rinli bo’lib 
0



n
n
y
im

 bo’lsa, u 
holda 
0



n
n
x
im

 bo’ladi. Haqiqatdan ham, 
0


 son uchun 




,

 atrofdan tashqarida 
 
n
x
 ketma-ketlikning ham chekli sondagi elementi yotadi. Demak 
0



n
n
x
im

 ekan.  

 
7.  Agar  barcha 
n
  larda 
n
n
n
y
z
x


  tengsizlik  o’rinli  bo’lib, 
0



n
n
x
im

  va 
0



n
n
y
im

  bo’lsa,  u  holda 
0



n
n
z
im

  bo’ladi.  Haqiqatdan  ham, 
n
n
n
y
z
x


 
tengsizlikdan 
n
n
n
n
x
y
x
z




0
 
tengsizlik 
kelib 
chiqadi. 
1-xossaga 
ko’ra 
0
)
(



n
n
n
x
y
im

 bo’lgani uchun  6-xossaga ko’ra 
0
)
(




n
n
n
x
z
im

 ekanligi kelib chiqadi. 
U xolda yana 1-xossaga ko’ra 




0








n
n
n
n
n
n
x
x
z
z
im
im


 o’rinli bo’ladi. 
 
3-ta’rif. 
A
R 
 to’plam  yuqoridan (quyidan) chegaralangan to’plam  deyiladi, agarda 
shunday  K  soni  topilsaki  istalgan 
A
x 
  uchun 
)
(
x
K
K
x


  tengsizlik  o’rinli  bo’lsa. 
Shu holda K soni A to’plamning yuqori (quyi) chegarasi deyiladi. 
 Agar A to’plam  ham  yuqoridan  va  ham quyidan  chegaralangan to’plam  bo’lsa,  bunday 
to’plam chegaralangan to’plam deyiladi.  
 
4-ta’rif. K soni (u-cheksiz  ham  bo’lishi  mumkin) A to’plamning aniq  yuqori (aniq quyi) 
chegarsi  deyiladi,  agarda 


K
x
K
x


  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  istalgan 
x
  soni 
uchun 


k
a
x
k
a
x




  tengsizlik  qanoatlantiruvchi  to’plamning  elementi    mavjud 
bo’lsa. 
 Bu  holda A to’plamning aniq   yuqori (aniq quyi) chegarasi 
A
K sup



A
K
inf

 
shaklda ifoda etiladi. 
 
1-teorema. Agar A to’plam yuqoridan quyidan chegaralangan bo’lsa 


A
A inf
sup
 soni 
chekli son bo’ladi.  
 
2-teorema. 
Agar 
 

1
n
n
x
 
ketma-ketlik 
o’suvchi 
(kamayuvchi) 
bo’lib 
 
0
sup
1



n
n
x
 


0
inf
1



n
n
x
 bo’lsa, u holda 
0



n
n
x
im

 bo’ladi.  
 
Isbot. 
 

1
n
n
x
 o’suvchi bo’lsin, ya’ni  








1
3
2
1
n
n
x
x
x
x
x
 o’rinli bo’lib 
 
0
sup
1



n
n
x
 bo’lsin, u holda 
0


 uchun shunday 
0
n
 nomer  mavjudki 


0
,



n
x
 
bo’ladi. U holda istalgan 
0
n
n 
 da  
0
0



n
n
x
x

 
bo’lgani uchun, 
0
n
n 
 larda 


0
,



n
x
 bo’lar ekan, ya’ni 
0



n
n
x
im

. 
 
Ketma-ketlik kamayuvchi bo’lgan holda ham isbot shu tarzda bajariladi. 
 
5-ta’rif. 
 

1
n
n
x
  ketma-ketlik  cheksiz  katta  ketma-ketlik  deyiladi,  agarda  istalgan 
0


 son uchun 




,

 atrof ichida ketma-ketlikning chekli sondagi hadi bo’lsa. Bu hol  




n
n
x
im

 
shaklda  ifodalanib, 
n
  cheksizlikka  intilganda 
n
x
  ning  limiti  cheksizlikka  teng,  yoki 
cheksizlikka intiladi deb aytiladi.  

Agar bu ta’rifda 
 

1
n
n
x
 ketma-ketlikning biron hadidan, keyingi barcha hadlari musbat 
bo’lsa, 




n
n
x
im

 
agar manfiy bo’lsa,  




n
n
x
im

 
deb ataladi.  
 
Masalan, 









n
im
n
im
n
n
n


,
)
1
(
 va 





)
( n
im
n

 bo’ladi.  
5-ta’rifni  unga  teng  kuchli  bo’lgan  boshqacha  ko’rinishda  ham  aytish  mumkin.  Ya’ni,  agarda 
istalgan 
0


 son uchun shunday 
0
n
 nomer mavjud bo’lsaki barcha 
0
n
n 
 uchun 


n
x
 
tengsizlik o’rinli bo’lsa, 




n
n
x
im

 deyiladi. 
 Agarda  ixtiyoriy 
0


  son  uchun  shunday 
0
n
  nomer  mavjud  bo’lsaki,  barcha 
0
n
n 
 uchun 







n
n
x
x
 tengsizlik o’rinli bo’lsa, 




n
n
x
im







n
n
x
im

 
deyiladi.  
 
3-teorema.  Agar 
 

1
n
n
x
  ketma-ketlik  cheksiz  kichik  ketma-ketlik  bo’lsa, 








1
1
n
n
x
 
ketma-ketlik  cheksiz  katta  ketma-ketlik  bo’ladi.  Aksincha 
 

1
n
n
x
-cheksiz  katta  ketma-ketlik 
bo’lsa, 








1
1
n
n
x
-cheksiz kichik ketma-ketlik bo’ladi. Тeoremada barcha 
n
 larda 
0

n
x
 deb 
qaraladi.