Informatsion texnologiyalar kafedrasi

Isbot. 
0



n
n
x
im

 bo’lsin, u holda istalgan 
0


 son  uchun shunday 
0
n
 mavjudki 
barcha 
0
n
n 
  lar  uchun 

1

n
x
  tengsizlik  o’rinli  bo’ladi.  U  holda  barcha 
0
n
n 
  uchun 


n
x
1
 tengsizlik o’rinli bo’ladi, ya’ni  




n
n
x
im
1

 

bo’ladi.  Aksincha,  agar 




n
n
x
im
1

  bo’lsa,  u  holda  istalgan 
0


  uchun  shunday 
0
n
 
mavjudki  barcha 
0
n
n 
  uchun 

1

n
x
  tengsizlik  o’rinli  bo’ladi,  u  holda  barcha 
0
n
n 
 
uchun 


n
x
1
 tengsizlik o’rinli bo’ladi, ya’ni  
0



n
n
x
im

 
bo’ladi.  
 
6-ta’rif. 
 

1
n
n
x
 ketma-ketlikning limiti 
a
 songa teng (yoki 
a
 soniga   yaqinlashadi) 
deyiladi,  agar 





1
n
n
a
x
  ketma-ketlik  cheksiz  kichik  ketma-ketlik  bo’lsa.  Bu  xol 
a
x
im
n
n




  shaklida  ifoda  etiladi.  Demak 
a
x
im
n
n




  deyiladi,  agarda 
0
)
(




a
x
im
n
n

 
tenglik o’rinli bo’lsa. Bunday ketma-ketlik  yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi. 
 
Ketma-ketlik  limiti  quyidagi  xossalarga  ega  bo’ladi 
a
x
im
n
n




  va 
b
y
im
n
n




 
bo’lsin, u holda. 
 
1. Istlagan 

 va 

 sonlar uchun  
b
a
y
x
im
n
n
n









)
(

 
tenglik o’rinli bo’ladi. Haqikatdan ham, cheksiz kichik ketma-ketliklar xossalariga 
ko’ra, quyidagi o’rinli bo’ladi:  






0
)
(












b
y
a
x
im
b
a
y
x
im
n
n
n
n
n
n








 
 
2.  Yaqinlashuvchi    ketma-ketlik  chegaralangan  ketma-  ketlik  bo’ladi. 
Haqiqatdan ham  
a
x
im
n
n




 bo’lsin, u holda 
0
)
(




a
x
im
n
n

 bo’lgani uchun 





1
n
n
a
x
-chegaralangan  ketma-ketlik  bo’ladi,  ya’ni  shunday 
0

К
  son 
mavjudki barcha  n  uchun 
K
a
x
n


 o’rinli bo’ladi, u holda barcha 
n
 uchun 


a
K
a
a
x
a
a
x
x
n
n
n








 
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Demak 
 

1
n
n
x
-chegaralangan ketma-ketlik ekan. 
3. 
b
a
x
y
im
n
n
n





bo’ladi.  Haqiqatdan  ham,  cheksiz  kichik    ketma-
ketliklarning 
xossalariga 
ko’ra, 
quyidagi 
o’rinli 
bo’ladi 












0
0
0
























a
b
b
y
a
im
y
a
x
im
b
y
a
y
a
x
im
ab
y
x
im
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n




.  

4. 
0
,




b
b
y
im
n
n

va barcha 
n
 larda 
0

n
y
 bo’lsa, u holda  
b
a
y
x
im
n
n
n




 
tenglik o’rinli bo’ladi.  Haqiqatdan  ham cheksiz kichik ketma-ketliklar  xossalariga 
ko’ra, quyidagi o’rinli bo’ladi.  
 
b
y
im
n
n




, aniqlik uchun 
o
b 
 bo’lsin, u holda 
2
b


 uchun shunday 
0
n
 mavjudki barcha 
0
n
n 
 uchun 
2
b
b
y
n


 
o’rinli bo’ladi. U holda  
0
2
2
2







b
y
b
b
y
b
n
n
 
va 
b
y
n
2
1
0


, ya’ni  




0
,
1
n
n
y
n
uchun chegaralangan ekan. U holda, (
0
n
n 
 deb 
qarash mumkin)  








0
1
1











































b
y
b
y
a
b
y
a
x
b
im
b
y
b
y
a
b
a
x
im
b
y
a
y
b
x
im
b
a
y
x
im
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n




 
ekanligi kelib chiqadi.  
 
5.  Agar 
a
x
im
n
n




, 
b
y
im
n
n




 bo’lib, biron nomerdan boshlab 
n
n
y
x 
 
tengsizliklar  o’rinli  bo’lsa,  u  holda 
b
a 
  tengsizlik  o’rinli  bo’ladi.  Haqiqatdan 
ham, agar aksi bo’lganda edi ya’ni 
b
a 
 bo’lsa, u holda 
0


 sonni shunday 
tanlab  olish  mumkinki 





b
a
(masalan 
2
a
b 


),  tengsizlik  o’rinli 
bo’ladi,  u  holda  shunday 
0
n
  natural  son  mavjudki  barcha 
0
n
n 
  lar  uchun 






b
y
ва
x
a
n
n
  tengsizliklar  o’rinli  bo’ladi,  u  holda 
0
n
n 
  uchun 
n
n
y
x 
bo’ladi. Bu esa qarama-qarshilikdir. 
 
4-teorema.  Agar 
 

1
n
n
x
-o’suvchi  (kamayuvchi)  ketma-ketlik  bo’lib 
yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo’lsa, u holda bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi 
bo’lib 
 
n
n
n
n
x
x
im
sup




 









n
n
n
n
x
x
im
inf

bo’ladi.  

 
Isbot.  Тeorema  shartiga  ko’ra 
 
a
x
n

sup
-chekli  son  bo’ladi,  u  holda 





1
n
n
a
x
  ketma-ketlik  o’suvchi  bo’lib 


0
sup

 a
x
n
  bo’ladi.  U  holda  2-
teoremaga ko’ra 
0
)
(




a
x
im
n
n

 bo’ladi, demak 
a
x
im
n
n




 ekan. 
 
5-teorema.  Agar  barcha  natural 
n
  uchun 
n
n
n
y
z
x


  bo’lib, 
a
y
im
x
im
n
n
n
n








 bo’lsa, u holda 
a
z
n
n
im




 bo’ladi  
Isbot. 
a
y
a
z
a
x
n
n
n





  tengsizlik  barcha  natural 
n
  uchun  o’rinli 
bo’ladi,  u  holda  7-xossaga  ko’ra 
0
)
(




a
z
n
n
im

  ekanligi  kelib  chiqadi,  demak 
a
z
n
n
im




  ekan. 
6-teorema. (Ichma-ich joylashgan segmentlar haqidagi teorema).  
Agar  har  bir  natural 
n
  uchun 




n
n
n
n
b
a
b
a

,
  segment  berilgan  bo’lib, 
barcha 
n
 larda  

 

1
1
,
,



n
n
n
n
b
a
b
a
 
munosabat  o’rinli  va 
0
)
(




n
n
n
a
b
im

  bo’lsa,  u  holda 
n
n
n
n
b
ва
a
im
im






 
limitlar mavjud bo’lib 
c
b
a
n
n
n
n
im
im








, 
istalgan natural 
n
 uchun 
n
n
b
c
a


 tengsizlik o’rinli bo’ladi. 
 
Isbot.  Тeorema  shartiga  ko’ra 
 

1
n
n
a
  ketma-ketlik  o’suvchi  bo’lib 
yuqoridan (masalan 
1
b
 bilan) chegaralangan, 
 

1
n
n
b
 ketma-ketlik esa kamayuvchi 
bo’lib 
quyidan 
(masalan 
1
a
 
bilan) 
chegaralangan 
bo’ladi, 
u 
holda 
 
 
b
b
ва
a
a
n
n
n
n


inf
sup
 desak, 4-teoremaga asosan 
b
b
a
a
n
n
n
n
im
im








,
, 
bo’ladi. Barcha  
n
 larda 
n
n
b
b
a
a



 bo’lgani uchun, barcha 
n
 larda  
n
n
a
b
a
b
o




 
tengsizlik  o’rinli  bo’ladi. 
0
)
(




n
n
n
a
b
im

  bo’lgani  uchun  5-teoremaga  ko’ra  
a
b
a
b



,
0
 ekanligi ya’ni  
n
n
n
n
b
a
im
im







 
tenglik o’rinli ekan. Тeorema isbot bo’ldi.  
 
 
 
 

20.3. «e» soni. 
 
 
4-teoremaning tadbig’i sifatida, quyidagi limitni ko’rsatamiz 
е
n
n
n
im










1
1

 
Agar 
n
n
n
x








1
1
  ketma-ketlikni  kiritsak,  uni  o’suvchi  va  yuqoridan 
chegaralangan  ekanligini  ko’rsatamiz.  Buning  uchun  biz  qo’yidagi  tengsizlikdan  
foydalanamiz, agar 
1


x
 bo’lsa, u holda 


nx
x
n



1
1
 
va istalgan 
b
a,
va natural 
n
 uchun  
 








n
k
k
k
n
k
n
n
b
a
C
b
a
0
 
bu yerda 
n
n
k
n
k
n
C
k
n







2
1
!
,
)!
(
!
!
, ekanligini eslatib o’tamiz. 









 













1
1
1
3
3
1
2
3
3
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
3
3
2
3
3
2
2
2
2
2
2
1
1



























































































































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
n
n
n
n
n
 
Demak 
n
n
x
x
1
1


,  ya’ni 
1


n
n
x
x
  ekan,  ya’ni 
 

1
n
n
x
  ketma-ketlik  o’suvchi 
ketma-ketlik  ekan.  Endi  uni  yuqoridan  chegaralangan  ekanligini  ko’rsatamiz. 
quyidagi tengsizlikka ko’ra  







!
1
1
1
2
1
1
1
!
1
1
)
2
(
)
1
(
!
1
1
!
!
!
1
k
n
n
k
n
k
k
n
n
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
n
C
k
k
k
k
n










































 























n
k
n
k
n
k
n
k
k
k
n
n
k
k
k
n
C
n
0
0
2
2
!
1
2
!
1
1
1
!
1
1
1
1
 

Endi 
2

k
  bo’lganda,  ushbu  tengsizlikdan 
1
2
1
3
2
1
1
!
1





k
k
k

  quyidagini 
hosil qilamiz 








































n
k
n
n
n
k
n
n
2
1
1
1
2
1
3
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1

 
Demak  istalgan  natural 
n
  uchun 
3
1
1








n
n
  tengsizlik  o’rinli  bo’lar  ekan.  U 
holda 4-teoremaga ko’ra quyidagi limit  mavjud va chekli bo’ladi, uning qiymatini 

 orqali belgilanadi 












n
n
n
im
1
1
 

 soni  irratsional  son  bo’lib,  u  matematika  va  uning  tadbiqlarida  katta 
ahamiyat  kasb  etadi. 

  sonining  o’nli  kasr  ko’rinishidagi  dastlabki  o’n  xonali 
yoyilmasi quyidagicha bo’ladi: 


7182818284
,
2

 
Endi quyidagi limitni istalgan 
o
a 
 uchun ko’rsataylik 
1
1






n
n
n
n
a
a
im
im


 
Dastavval, 
1

a
 deb qaraylik, u holda 
1
1

n
a
 bo’lib, 


nx
x
n



1
1
 tengsizlikda 


n
a
x
x
1
1
1




 deb olsak quyidagini hosil qilamiz 
n
a
a
o
a
a
n
n
n
1
1
1
1
1
1

















 
bu yerdan 


n
 da limitga o’tsak 
0
1
1












n
n
a
im

 
ekanligi kelib chiqadi, ya’ni 
1
1



n
n
a
im

 
ekan. Agar 
1

 a
o
 bo’lsa, u  holda 
1
1

a
 bo’lgani uchun  
1
1
1
1
1












n
n
n
n
a
a
im
im


 
ekanligi kelib chiqadi. Demak istalgan 
0

a
 uchun  

1
1



n
n
a
im

 
tenglik o’rinli bo’lar ekan. 
 
Keyingi misol sifatida istalagn 
)
0
(
0


a
a
 son uchun 
0
1
1










n
og
a
n
im


 
ekanligini  ko’rsataylik.  Dastavval 
1

a
  deb  qaraylik,  u  holda 
x
og
a

  funksiya  o’suvchi 
bo’lgani  uchun,  agar  biz 








n
og
t
a
n
1
1

  deb 
 

1
n
n
t
  ketma–ketlikni  hosil  qilsak,  bu 
ketma-ketlik  kamayuvchi  bo’lib,  ya’ni 







1
2
1
n
n
t
t
t
t
,  istalgan 
n
  uchun 
0

n
t
 bo’lganidan, uning chekli limiti mavjud bo’lib, 4-teoremaga ko’ra  
 





n
n
n
n
t
t
im
inf

 
ekanligi  kelib  chiqadi. 
0


  ekanligini  ko’rsatamiz,  haqiqatdan  ham,  agar 
0


  deb  farz 
qilsak, 
0
1 


a
 bo’lgani uchun, 
1
1



a
n
 deb olsak, u holda shunday 
n
 larda  












a
og
n
og
t
a
a
n


1
1
 
ekanligi kelib chiqadi, bu esa 
 
n
n
t
inf


 ekanligiga qarama-qarshidir. Demak 
0


 ekan, 
u holda  
0
1
1










n
og
a
n
im


 
tenglik o’rinli bo’ladi. Agar 
1

 a
o
 bo’lsa, 
1
1

a
 bo’lgani uchun  
0
1
1
1
1
1





























n
og
n
og
a
n
a
n
im
im




 
ekanligi kelib chiqadi. Хuddi shuningdek 
0
1
1










n
og
a
n
im


 
ekanligi ko’rsatiladi.