Informatika, avtomatlashtirish va boshqaruv kafedrasi

Avtomatik boshqarish nazariyasi
3 - laboratoriya ishi bo’yicha hisobot
Dinamik sistemalarning chastotaviy xarakteristikalarini tadqiq etish
Bajardi:
Tekshirdi:
Variant
1. Model strukturasini tuzish.


2.Tadqiqot natijalari
AFCHX qurish:


Re(W(i- w))
ACHX qurish:

A j wi, j)


wi, j


Umumiy xulosa



4.CHIZIQLI AVTOMATIK BOSHQARISH SISTEMALARINING
TURG’UNLIGINI ALGEBRAIK ME’ZONLAR BO'YICHA TADQIQ
ETISH
Ishdan maqsad- Chiziqli avtomatik boshqarish sistemalarining turg'unligini algebraik me’zonlar bo'yicha tekshirishni Matlab dasturi asosida o’rganish va tahlil qilish.
4.1 Nazariy qism.
Sistemaning turg‘unligi xarakteristik tenglamalarning ildizlarini hisobga olmasdan turib aniqlaydigan qoidalar turg‘unlik mezonlari ekanini bildiradi.
Turg‘unlikning algebraikmezoni xarakteristik tenglamaning
koeffitsiyentlari orqali sistemaning turg‘unligi haqida fikr yuritish imkonini beradi.
D (p) = a 0 pn + a1 pⁿ “1 +... + an = 0 (4.1)
Turg'unlikning algebraik mezonidan Raus va Gurvits mezonlari eng ko‘p qo'llaniladi.
Xarakteristik tenglamaning hamma koeffitsiyentlarini musbat bo'lishi sistemaning turg'un bo'lishi uchun zaruriy shartdir.
a0 > 0, ai > 0, ..., an > 0 ⁽4.²⁾
Raus va Gurvits mezonlari matematik jihatdan ekvivalentdir.
Raus turg‘unlik mezoni.
Rausning turg‘unlik mezoni 1887 yil ingliz matematigi E.Raus tomonidan taklif qilingan. Bu mezonni quyidagi jadval orqali tushuntirish mumkin.

ri koef-ti	i qator	Ustun
		1	2	3	4
—	1	a 0=c 11	a 2=C 21	a 4=c 31
—	2	a 1=c 12	a 3=C 22	a 5=C 32
с11 ^r3 = — ^C12	3	513=a2-r 3 a 3	523=a4-r 3 a 5	5 33=a 6-r 3 a 7
с12 r4 = ~ ^C13	4	514=a 3-r4 a23	524=a 5-r4 a 33	5 34=a 7-r4 a 43
с13 r = -13	5	515=C 23-r 5 5 24	525=C 33-r5534	5 35=C 43-r 5 5 44
с1, i “2 ^ri=	i	51, i=C 2, i-2-r5 2, i -1	5 2, i=C 3, i-2-r5 3, i -1	5 3, i=C 4, i-2-r5 4, i -1

Jadvalning birinchi qatoriga xarakteristik tenglama koeffitsiyentlari indeksi oshib borish tartibida juft indeksli a о, a2, a4, a 6, ... ikkinchi qatoriga esa toq indeksli a1, a3, a5, a7, . koeffitsiyentlar joylashtiriladi.
Jadvalning qolgan har bir koeffitsiyentlari quyidagicha topiladi.
cn,i = ^Cn+1, i-2 ^— ricn+1, i-1 , (4.³⁾
bu yerda r=c ***
Gurvits turg‘unlik mezoni.
Bu mezon 1877 yilda ingliz olimi Rauss va 1893 yilda nemis matematigi Gurvits tomonidan ta’riflangan:
n-tartibli chiziqli tizimning turg‘un bo’lishi uchun berilgan tizimning xarakteristik tenglamasida koeffitsiyentlardan tashkil topgan n ta aniqlovchilar musbat bo’lishi zarur va yetarli:
a₀pⁿ + a₁ p^n-1 + a₂ p^n-2 +...+a_n-1p+a_n =0 (4.4)
Bunda quyidagi qoidalarga asosan koeffitsiyent a0 > 0 bo’lishi ke-rak:

1. 
   bosh dioganal bo’yicha «a1» dan to «an» gacha o’sish tartibi bilan yozib chiqiladi;
   
2. 
   bosh dioganalga nisbatan qatorlarning pastga tomon indekslari kamayuvchi, yuqoriga tomon indekslari o’sib boruvchi koeffitsiyentlar bilan to'ldiriladi;
   
3. 
   indekslari noldan kichik hamda «n» dan katta bo'lgan koeffitsiyentlar o'rniga nollar yoziladi;
   
4. 
   Gurvits aniqlovchisining yuqori tartibi xarakteristik tenglamaning darajasiga teng bo’ladi;
   
5. 
   Gurvits aniqlovchisining oxirgi tartibi д = a„ .д_п__г ga tengdir.
   

	a1	a3	a5	a7	.0
	a0	a	a4	a6	.0
	0	a	a3	a5	.0
д=		1
n	0 .	a0 .	a2 .	a4 .	.0 • • ..
	0	0	0	0	. an

Gurvits mezonining ta’rifi:
Agarda a > 0 bo'lib, Gurvitsning hamma aniqlovchilari noldan katta bo'lsa,
u holda sistema turg'un bo'ladi, ya’ni a_o > 0 bo'lganda д > 0; д > 0;
д₃>о...д>о bo'lishi kerak. д = a -A_{n l} bo'lishi Gurvits aniqlovchisining tuzilish strukturasidan kelib chiqadi. Shunga ko'ra, agar д = a_n .д _x = 0 bo'lsa,
sistema turg'unlik chegarasida bo'ladi. Bu tenglik esa ikki holda, ya’ni a = о yoki а„__х = о bo'lganda bajarilishi mumkin.
Agarda a = о bo'lsa, unda tekshirilayotgan sistema turg'unlik holatining aperiodik chegarasida bo'ladi (ya’ni xarakteristik tenglamaning bitta ildizi nolga teng bo'ladi).
Agarda а_п__г = о bo'lsa, unda tekshirilayotgan sistema turg'unlik holatining tebranma chegarasida bo'ladi (ya’ni xarakteristik tenglama juft mavhum ildizga ega bo'ladi).
Endi n = 1,2,3,4ga teng bo'lgan tenglamalar bilan ifodalangan sistemalar uchun Gurvits mezonining shartlarini ko'rib chiqamiz.

1. 
   n = 1, ap + a = о.
   

Bunda a >о; А =a > о turg'unlik sharti bo’ladi. Demak, birinchi tartibli sistemalar turg'un bo’lishi uchun xarakteristik tenglama koeffitsiyentlarining musbat bo’lishi yetarlidir.

2. 
   n = 2, a_op² + ap+a = 0.
   

Bunda turg'unlik shartlari quyidagicha bo’ladi:


a о 0; л_х = a > 0; л₂ = a • a > о; a₂ =

=aa —a 0=aa >0
a1
a 0














Demak, ikkinchi tartibli tenglama bilan ifodalangan sistemalarning turg‘un bo’lishi uchun xarakteristik tenglama koffitsentlarining musbat bo’lishi yetarli shart hisoblanadi.
в) n—3, a_op³ + ap²+a₂p+a — 0
Turg‘unlikning zaruriy shartlari:
a0>0; А₁ = a₁ > 0; А₂

a1 a 0

a
a₂

=aa —aa >0; А =a •А >о

Shunday qilib, uchunchi tartibli tenglama bilan ifodalangan sistema turg'un bo'lishi uchun xarakteristik tenglama koeffitsentlarining musbat bo’lishi yetarli bo’lmay, bunda (a a — a a ) > 0 tengsizlikning bajarilishi zarur shart hisoblanadi.
g) n = 4, ap⁴+ap³ + ap²+ap²+a = 0
Turg'unlik shartlari:
a0>0; А₁ = a₁ > о; А =

a₁
a0

a₃ a

=aa —aa >о;

a
a₀
0

a
a₂ a

0
a₄ a

— a-a^a^ + 0 + 0 — 0 — a^a^

—a²a =a (a a —a a )—a²a >0;

А₄ = a₄ • А₃ .

To’rtinchi tartibli tenglama bilan ifodalangan sistemalar turg'un bo'lishi uchun xarakteristik tenglama koeffitsentlarining musbat bo'lishidan tashqari yana ikki (aa - a_oa) > 0, a3 (a1 a2 - a0a3) - a12a4 > 0 shartlar baj arilishi kerak.
Xarakteristik tenglamaning darajasi «n» ortgan sari yuqoridagi kabi bajarilishi kerak bo'lgan shartlar ham ko'payib boradi. Shuning uchun turg'unlikning Gurvits mezonining n<4 bo'lgan sistemalar uchun qo'llash maqsadga muvofiq bo'ladi.
LTI Viewer punktini quyidagi usullarda chaqirish mumkin:

1. 
   Tools LinearAnalysis... buyrug’ini Simulink-modeli oynasidan. Bunda Model_Inputs_and_Outputs oynasi va Simulink LTI-Viewer bo’sh oynasi hosil bo’ladi (4.3-rasm).
   

3. 
   rasm. Foydalanish modeli va Model_Inputs_and_Outputs oynasi
   

2. 
   Tizimning kirishiga InputPoint blokini va chiqishiga OutputPoint blokini o’rnatish (4.4-rasm);
   

3. 
   rasm. Input vaOutput bloklari o’rnatilgan model
   

3. 
   LTI-Viewer oynasida Simulink\Get Linearized Model buyrug’ini bajarish. Bu buyruq modelni chiziqlantirish va birlik pog’onali signalga bo’lgan reaksiyasini hosil qiladi.
   
4. 
   Parametr xarakteristikalarini olish uchun
   

Edit\PlotConfiguration.... buyrug’i tanlanadi. natijada ekranda quyidagicha ko’rinishdagi oyna paydo bo’ladi:

3. 
   rasm.. PiotConfiguration oynasi.
   

Bu oyna orqali grafiklarni sonini va turini aniqlash mumkin.
Xarakteristik tenglama ildizlarini aniqlashda Response type buyrug’i va nollar hamda qutblarni aniqlashda Poie/Zero.buyrug’i tanlanadi.
Naykvist kriteriysi boyicha tizim turg’unligini aniqlashda LTI Viewer paketidan foydalaniladi:

1. 
   AFCHX uchun: Piot Type>Nyquist;
   

2)LCHX uchun: Piot Type>Bode .
Turg’unlik zahiralarini aniqlashda konteks menyudan
Characteristics>StabiiityMargins punkti tanlanadi(4.6-rasm).

3. 
   rasm.Turg’unlik zahiralarini aniqlash
   

- Gainmargin (dB) - amplitude boyicha turg’unlik zahiralari, dB;
-Phasemargin (deg) - faza boyicha turg’unlik zahiralari, gradusi;
-Atfrequency (rad/sec) - “chastota boyicha”, rad/s.
4.2 Ishni bajarish tartibi
ABT strukturaviy sxemasi 4.7-rasmda keltirilgan.

3. 
   rasm. Chiziqli tizimning strukturaviy sxemasi
   

Uzatish funksiyalari quyidagi ko’rinishga ega:
KK
Wi(s)=r,; W2(s) ⁼^~Ь; W3(s)⁼-3^.
T1 s +1 T₂s +1 s
T1, T2, K1, K3 parametrlari variant bilan keltirilgan jadval. 4.1.
K qiymati boshlang’ich holatda 0 ga teng. Keying holatlar uchun turg’unlik shartidan kelib chiqib olinadi.

2. 
   ochiq va yopiq tizimning uzatish funksiyalari yoziladi:
   

bunda f = o, e = v (ochiq teskari aloqa);

Ф( s) =
bunda f = о - yopiq tizimning asosiy uzatish funksiyasi.
Ularga Matlab dasturida buyruq beriladi.

2. 
   Gurvits kriteriysidan foydalanib turg’unlikning umumiy sharti yoziladi.
   

Jadvaldagi T₁, T₂, K₁, K₃ qiymatlaridan K _2kp uzatish koeffisientining
chegaraviy qiymatlari topiladi. Keying hollarda K₂ = 0,5K_2kp teng deb olinadi.

2. 
   K = Ki • K2 • Kз uzatish koeffisientlari va T2 doimiy va berilgan T₁vaqt qiymatlaridan Kгр ning chegaraviy qiymatlari tizim turg’un holati uchun topilsin.
   
3. 
   Simulink paketi yordamida foydalanilayotdan tizim modeli K2 = 0,5K_2kp olinadi. Berilgan parametrlar boyicha o’tish jarayonlari olinadi. Kгр Uzatish koeffisientining kritik qiymatlari tizim turg’un holati uchun topilsin.
   
4. 
   Kгр ning turli qiymatlari K₂ = 0,5K_2kp K₂ = K_2kpuchun tizimning o’tish jarayonlari olinsin.
   
5. 
   Tizimda kirish(InputPoint) va chiqish (OutputPoint) bloklari ControlSystemToolbox kutubxonasidan o’rnatilinib, yopiq tizim uchun nollar va qutblar aniqlansin.
   

8. 
   LTI-Viewer yordamida yopiq tizim uchun LACHX olinsin. K₂ = 0,5 K_&d
   

K2 = Kгр qiymatlarda turg’unlik zahiralari aniqlansin.