2-§. Гиперболик типдаги тенглама ва унинг каноник кўриниши
1-§ da aytganimizdek
tenglama uchun biror M nuqtada
boʼlsa, u giperbolik tipdagi tenglama boʼladi.
Bu holda
tenglamalarning integrallari
lar haqiqiy va turlicha boʼladi. Binobarin, (8) tenglama ikkita turli haqiqiy xarakteristikalarga ega.
Endi yangi oʼzgaruvchi va lar sifatida va funktsiyalar olinsa:
ular (7) tenglamani qanoatlantirib, (6) munosabatlarga koʼra boʼladi.
Natijada (5) tenglama quyidagi
koʼrinishga keladi. Keyingi tenglikdan quyidagini topamiz:
(13)
bunda
bo’ladi.
(13) tenglama giperbolik tipdagi tenglamaning kanonik koʼrinishini ifodalaydi.
Agar va oʼzgaruvchilarni
deb olsak, giperbolik tenglama ushbu
koʼrinishga keladi. Bu giperbolik tipdagi tenglamaning ikkinchi kanonik koʼrinishidir.
Shunday qilib, giperbolik tipdagi tenglama quyidagi
ёки
kanonik koʼrinishlarga ega boʼladi.
Misol. Ushbu
(14)
tenglamani qaraylik.
Bu tenglama uchun bo’lib,
boʼladi. Demak, qaralayotgan tenglama giperbolik tipdagi tenglama
ekan.
(14) tenglamaning xarakteristik tenglamasi
boʼladi. Bu ikkita
tenglamalarga ajraladi. Ularni yechib, topamiz:
Endi yangi oʼzgaruvchi va lar sifatida
deb , larni (4) formulalardan foydalanib hisoblaymiz:
Bu qiymatlarni (14) tenglamadagi , larning oʼrniga qoʼyib topamiz:
Bu berilgan tenglamaning kanonik koʼrinishidir.
3-§. Parabolik tipdagi tenglama va uning kanonik koʼrinishi.
Аytaylik, ushbu
tenglama uchun biror nuqtda
boʼlsin. Unda qaralayotgan tenglama parabolik tipdagi tenglama boʼlib, u bitta karrali haqiqiy xarakteristika
ga ega boʼladi.
Yangi oʼzgaruvchi va lar sifatida
larni olamiz, bunda funksiya ga bogʼliq boʼlmagan ixtiyoriy funktsiya.
Bu xolda funksiya (7) tenglamani qanoatlantirib, (6) munosabatga koʼra
bo’ladi.
Ikkinchi tomondan, boʼlishini eʼtiborga olib
va
(15)
boʼlishini topamiz.
Ravshanki,
(15) tenglikka koʼra
boʼladi. Natijada (5) tenglama quyidagi
koʼrinishga keladi. Keyingi tenglikdan topamiz:
(16)
bunda
bo’ladi.
(16) tenglama parabolik tipdagi tenglamaning kanonik koʼrinishini ifodalaydi.
Misol. Ushbu
(17)
tenglamani qaraylik.
Bu tenglama uchun bo’lib,
boʼladi. Demak, qaralayotgan tenglama parabolik tipdagi tenglama.
(17) tenglamaning xarakteristik tenglamasi
boʼladi. Bu esa
yani
tenglamaga keladi. Uning yechimi
bo’ladi.
Endi yangi oʼzgaruvchi va lar sifatida
deb, ( funktsiyaning ixtiyoriyligidan foydalanib, uni deb oldik) larni (4) formulalardan foydalanib hisoblaymiz:
Bu qiymatlarni (17) tenglamadagi larning oʼrniga qoʼyib topamiz:
Bu berilgan tenglamaning kanonik koʼrinishini ifodalaydi.
Do'stlaringiz bilan baham: |