Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalar va ularni sinflash

5-Misol. xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilagan tenglama funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamadir. Uning yechimi bo’yicha ikki marta hosilasi funksiyaga teng bo’lishi kerak. Bunday funksiyani topish uchun har bir tayinlangan da funksiyadan bo’yicha ikki marta aniqmas integral olamiz. Bir marta integrallash bilan quyidagi natijani olamiz:
.
Uni ikkinchi marta bo’yicha integrallab, izlangan yechimni olamiz:
.
Bunda va lar faqat o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan va ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiyalardir. Demak berilgan tenglamaning yechimi ikkita ixtiyoriy uzluksiz funksiyadan bog’liq bo’lib

formula bilan aniqlanar ekan.
Quyidagi misollar 2-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalarni ma’lum soddalashtirish natijasida umumiy yechimni topish jarayonida keng qo’llaniladi.