Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamalari ikkinchi tartibli chiziqlarning markazi

3. Qo'shma yo'nalishlar va bosh yo'nalishlar
Berilgan yo'nalishga qo'shma diametr yo'nalishi uchun (18)
munosabat o'rinli. Bu munosabatni
(19)
ko'rinishda yoki
(20)
ko'rinishda ham yozish mumkin.
Ta'rif- 1. Ikkita yo'nalishlar uchun (20) munosabat bajarilsa,
bu yo ’nalishlar (1) chiziqga nisbatan qo ’shma yo’nalishlar deyiladi.
Bu munosabatda (1) tenglama koeffisentlari qatnashadi.Koeffisientlar esa koordinatalar sistemasiga bog'liq. Ikkita yo'nalishlar biror koordinatalar sistemasida (1) chiziqga nisbatan qo'shma yo'nalishlar bo'lsa,ular ixtiyoriy koordinatalar sistemasida (1) chiziqga nisbatan qo'shma yo'nalishlar bo'lishini ko'rsatamiz.
Biz Oxy koordinatalar sistemasidan koordinatalar sistemasiga
(21)
almashtirishlar yordamida o’tsak,(1) tenglama
(22)
ko’rinishga keladi. Ikkita yo’nalishlar uchun qo’shma bo’lish sharti
bo’lgan (21) tenglikni
(23)
belgilash kiritib
(24)
ko’rinishda , (1) tenglamani esa.
(25)
ko’rinishda yozish mumkin.Almashtirishlar formulasini
(26)
belgilash kiritib, matrisalar va vektorlar yordamida yozsak
(27)
ko’rinishda bo’ladi. Ikkinchi tartibli chiziqning (25) tenglamasiga (27) formuladagi ifodani qo’ysak va

tengliklarni hisobga olsak, (25) tenglama quyidagicha o’zgaradi:

(28)
Bu tenglamalarning oxirgisidan ko'rinib turibdiki yangi koordinatalar sistemasidagi koeffisientlardan iborat

qoida bo'yicha o'zgaradi va
(29)
tengliklar o'rinli ekanligini ko'rish mumkin.
Biz vektorning eski koordinatalarini bilan,yangi koordinatalarini bilan belgilasak,

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglikni hisobga olib vektorlarning
yangi koordinatalarini bilan belgilasak

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglikdan (24) tenglik
(30)
tenglikga teng kuchli ekanligi. kelib chiqadi. Demak vektorlarning (1) chiziqqa nisbatan qo’shma bo’lishi koordinatalar sistemasiga bog’liq emas.
Ikkinchi tartibli chiziqning markazi tushunchasi koordinatalar sistemasiga bog’liq emasligini biz 1-paragrafda geometrik ravishda ko’rsatgan edik. Hozir esa yuqoridagi almashtirishlar formulasini keltirganimizdan keyin bu faktni algebraik isbotlashimiz mumkin.Haqitan ham biz sistemani
(31)
ko’rinishda yozishimiz mumkin.Ikkinchi tomondan yangi koordinatalar sistemasida bu tenglik ko’rinishda
(32)
ko’rinishda bo’ladi.Yuqoridagi almashtirish formulalarni hisobga olib,uning (31) tenglikga teng kuchli ekanligini ko’rsatamiz.Bu tenglikda

almashtirishlarni bajarsak,u
(33)
ko’rinishga keladi.Bu tenglikda

tenglikni hisobga olsak, (34) tenglik
(34)
ko’rinishda yoziladi.Bu tenglikdagi matrisaning determinanti noldan farqli bo’lganligi uchun,bu tenglik (31) tenglikga teng kuchlidir.