Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamalari ikkinchi tartibli chiziqlarning markazi

Tasdiq-2. Yagona markazga ega bo ’lgan ikkinchi tartibli chiziq markazi unga tegishli bo ’lishi uchun tenglikning bajarilishi zarur va etarlidir.
Isbot. Ikkinchi tartibli chiziq markazi M (x ,y ) nuqtada bo'lib,u chiziqqa tegishli bo'lsa
(6)
va
(7)
tengliklar bajariladi. Yuqoridagi (6) tenglikning birinchisini ^x0 ga, ikkinchisini ^y0 ga ko'paytirib, (7) tenglikdan ayirsak

tenglikni hosil qilamiz. Demak uchlik
(8)
bir jinsli sistemaning notrivial echimidir. Bu esa shartga teng kuchlidir.
Aksincha bo'lsa, (8) sistema notrivial echimga egadir. Bu uchlikda
chunki . Biz deb hisoblay olamiz, chunki bo'lganligi uchun har bir uchun juftlik mavjud. Yuqoridagi (8) sistemada bo'lganda
juftlik markaz koordinatalari ekanligi kelitb chiqadi. Bundan tashqari (8) sistemadan foydalanib

tenglikni olish mumkin.


2.Ikkinchi tartibli chiziq va to'gri chiziqning o'zaro vaziyati
Bizga (1) tenglama bilan aniqlangan ikkinchi tartibli chiziq va
(9)
parametrik tenglamalar yordamida to’gri chiziq berilgan bo’lsin. To’g’ri chiziq va ikkichi tartibli chiziqning kesishish nuqtalarini topish uchun (9) ifodalarni (1) ga qo'yamiz. Natijada quyidagi
(10)
kvadrat tenglamani hosil qilamiz.Bu tenglamada ikkinchi darajali had oldidagi ifoda to'g'ri chiziqning yo'nalishiga bog'liq xolos. Ba'zi yo'nalishlar uchun bu ifoda nolga teng bo'ladi va yuqoridagi tenglama chiziqli tenglamaga aylanadi. Ba'zi yo'nalishlar uchun bu ifoda nolga teng emas va yuqoridagi tenglama kvadrat tenglama bo'ladi. Ta'rif-l. Berilgan yo'nalish uchun
(11)
tenglik bajarilsa,bu yo'nalish asimpotik yo'nalish,
(12)
munosabat bajarilsa noasimptotik yo'nalish deyiladi.
To'g'ri chiziqning yo'nalishi noasimptotik bo'lsa,yuqoridagi tenglama kvadrat tenglama bo'ladi.Demak bu to'g'ri chiziq (1) chiziq bilan ikkita yoki bitta umumiy nuqtaga ega bo'lishi mumkin. Noasimptotik yo'nalishdagi to'g'ri chiziq ikkinchi tartibli chiziq bilan bitta nuqtada kesishsa,u urinma deb ataladi.
To'g'ri chiziqning yo'nalishi asimptotik bo'lsa, yuqoridagi tenglama chiziqli tenglama bo'ladi. Demak bu holda to'g'ri chiziq (1) bilan bitta nuqtada kesishadi, yoki to'g'ri chiziqning hamma nuqtalari (1) ga tegishli bo'ladi.Agar ikkinchi darajali had koeffisienti nolga teng bo'lib, ozod had noldan farqli bo'lsa,to'g'ri chiziq ikkinchi tartibli chiziq bilan kesishmaydi. Asimptotik yo'nalishdagi to'g'ri chiziq ikkinchi tartibli chiziq bilan kesishmasa u ikkinchi tartibli chiziq uchun asimptota deyiladi.
Biz
tenglamada bo’lsa, belgilash kiritib uni
ko’rinishda, agar m bo’lsa, belgilash kiritib uni
ko’rinishda yozamiz. Ikkala holda ham diskriminant uchun

tenglik o’rinli. Demak bo’lsa asimptotik yo’nalish mavjud emas. Bu holda (1) chiziq elliptik chiziq deyiladi,agar bo’lsa, asiptotik yo’nalish bitta va bu holda
(1) chiziq parabolik, bo’lsa ikkita asimptotik yo’nalish mavjud, chiziq esa giperbolik chiziq deyiladi.
Yuqoridagi (11) tenglamadagi birinchi darajali had oldidagi koeffitsient
(13)
ko’rinishga ega. Agar
(14)
tengliklar bir vaqtda bajarilmasa, (13) tenglama to’g’ri chiziqni aniqlaydi. Berilgan yo’nalish uchun(14) tengliklar bajarilsa, yo’nalish maxsus yo’nalish
deyiladi. Ikkinchi tartibli chiziq uchun bo’lsa,(14) sistema faqat trivial echimga ega va demak yagona markazga ega bo’lgan chiziqlar uchun maxsus yo’nalishlar yo’q.