Иккинчи боб

qism guruxning birlik elementi guruxning birlik elementiga teng;



2. elementning shu qism guruxdagi teskarisi bu elementning A guruxdagi teskarisiga teng.


I s b o t. Ixtiyoriy guruxda e birlik element e ¹ tenglikni qanoatlantiradi. Xususan, V qism guruxning birlik elementi uchun 3-teoremaga asosan .
Endi a V ixtiyoriy element bo`lib, b element a ning V qism guruxdagi teskarisi, ya`ni ab e bo`lsa, u xolda bu tenglik ko`rsatadiki, b element a ga A guruxda xam teskari. Demak, ular teng.
N a t i j a. V to`plam qism gurux bo`lishi uchun quyidagi ikki shart bajarilishi zarur va kifoya:

1. 
   agar bo`lsa, u xolda
   
2. 
   agar b V bo`lsa, u xolda V.
   

I s b o t. Agar V qism gurux bo`lsa, unda 1) shart bajariladi. 4-teoremaga asosan 2) shart xam bajariladi.
Endi, aksincha, (1) va (2) shartlar bejarilgan bo`lsin. U xolda V da assoqiativlik xossasining bajarilishi bu xossaning A da bajarilishidan kelib chiqadi. (1) va (2) shartlardan ekanligi kelib chiqadi. Bun-dan 4-teoremaga asosan V ning birlik elementga ega ekan-ligi kelib chiqadi. (2) shartdan va 4-teoremadan V dagi xar bir element teskari elementga ega ekanligi kelib chiqadi.
5-teorema. qism guruxlarning kesishmasi qism guruxdir.
I s b o t. A guruxda qism guruxdar tizimi berilgan bo`lib, ularning kesishmasi bo`lsin.
Agar bo`lsa, u xolda xar bir uchun . Bundan qism gurux bo`lgani uchun .
Oxirgi munosabat xar bir uchun o`rinli bo`lgani tufayli
Endi b V bo`lsin. U xolda xar bir uchun qism gurux bo`lgani tufayli . Oxirgi munosabat xar bir uchun o`rinli bo`lganidan Bu bilan 4-teoremaning natijasiga asosan V ning qism gurux ekanliga ko`rsatildi.
A guruxda yotuvchi S to`plamni o`z ichiga oluvchi barcha qism guruxdar tizimini orqali belgilaymiz. Bu tizim bo`sh emas, chunki A guruxning o`zi bu tizimga kiradi. Bu qism guruxlar tizimining kesishmasi ni S tuplam xosil qilgan qism gurux deb ataladi.
va - guruxdar bo`lsin. dagi gurux amalini orqali va dagini ° orqali belgilaymiz.
T a ` r i f. Agar va - guruxlarning aks ettpirishi xar qanday elementlar uchun.

tenglikni qanoatlantirsa, bu aks ettirish gomomorfizm deyiladi. Bu tushuncha 8-§ da yarimguruxlar uchun kiritilgan gomomorfizm tushunchasining xususiy xoli.