Икки ўзгарувчили функциянинг экстримуми. Ёпиқ соҳада функциянинг энг катта ва энг кичик қийматлари

3– М А Ъ Р У З А
Икки ўзгарувчили функциянинг экстримуми.
Ёпиқ соҳада функциянинг энг катта ва энг кичик қийматлари.
Икки ўзгарувчининг функциясини қараймиз. Бундай функциялар учун экстремум нуқталарининг таърифи бир ўзгарувчи функциясининг экстремум нуқталари таърифига ўхшаш бўлади.
Таъриф: Агар функциянинг нуқтадаги қиймати унинг шу нуқтанинг бирор атрофига тегишли нуқтадаги қийматларидан ката (кичик) бўлса нуқта максимум (минимум) нуқта дейилади.
Максимум ва минимум нуқталар экстремум нуқталар дейилади. Бундай ҳолда функция нуқтада экстремум (максимум ёки минимум) га эришади, дейилади.
Функциянинг экстремум нуқтадаги қиймати, яъни функциянинг экстремал қиймати дейилади.
Максимум бўлган ҳолда Минимум бўлган ҳолда
ёки ёки
Агар тенгсизликнинг чап қисмидаги ифодани ўнг қисмига ўтказсак,у ҳолда максимум бўлган ҳолда
га, минимум бўлган ҳолда
га эга бўламиз.
Шундай қилиб, максимум бўлган ҳолда функциянинг тўлиқ орттирмаси манфий (), минимум бўлган ҳолда эса функция-нинг тўлиқ орттирмаси мусбат() бўлади. Тескари даъво ҳам ўринли.
Теорема: ( Экстримум мавжудлигининг зарурий шарти).
Агар дифференциалланувчи функция функция, нуқтада экстримумга эга бўлса, у ҳолда унинг шу нуқтадаги хусусий ҳосилалари нолга тенг бўлиши зарур:
Таъриф: Хусусий ҳосилалар нолга тенг бўладиган, мавжуд бўлмайдиган ёки чексизликка тенг бўладиган нуқталари критик нуқталар дейилади.
Функциянинг критик нуқталарини топиш учун унинг иккала хусусий ҳосиласини нолга тенглаш ва ҳосил бўлган икки ўзгарувчили иккита тенгламалар системасини ечиш керак бўлади. Бундан ташқари, хусусий ҳосилалари мавжуд бўлмайдиган нуқталарни топиш ҳам керак.
1-мисол. Ушбу
Функциянинг критик нуқталарини топинг. Ечиш: Бундай белгилаймиз:
.
Функция ҳамма ерда аниқланган. Хусусий ҳосилаларни топамиз:
, .
Улар текисликнинг ҳамма ерида аниқланган. Шунинг учун критик нуқталарни топиш учун хусусий ҳосилаларни нолга тенглаш етарли.
ёки
ёки
ёки
 Демак, иккита критик нуқтага эга бўламиз:
Теорема: (Экстримум мавжудлигининг етарлилик шарти).
Агар функция критик нуқтада ва унинг бирор атрофида иккинчи тартибли хусусий ҳосилаларга эга бўлиб, бундан ташқари, бу нуқтадаги хусусий ҳосилалар нолга тенг бўлса:
ҳолда нуқтада

>0 бўлса, экстремум мавжуд, бунда

• агар A>0 бўлса, минимум;
• агар А<0 бўлса, максимум;

0 бўлса, экстремум йўқ;
3) =0 бўлса, экстремум бўлиши ҳам ва бўлмаслиги ҳам мумкин. Бу ерда

,
,
 
,
.
Икки ўзгарувчили функциянинг ёпиқ соҳадаги энг катта ва энг кичик қийматлари
Ёпик, чегараланган D сохада узлуксиз функция бу соҳада ҳеч бўлмаганда бир мартадан ўзининг энг катта қиймати М ва энг кичик киймат m ни қабул қилади. Агар бу қийматларнинг бирортасига функция D соҳанинг ичида эришса, улар экстремал қийматлар билан бир хил бўлади. Агар функция бу қийматларни соҳа чегараси L га тегишли баъзи нуқталарда қабул қилинса, равшанки, улар экстремал қийматлар билан бир хил бўлмайди.
Шундай қилиб, ёпиқ соҳада узлуксиз функциянинг энг катта ва энг кичик қийматларини топиш учун:
1) соҳа ичида жойлашган критик нуқталарини топиш ва функциянинг бу нуқтадаги қийматларини ҳисоблаш;
2) соҳа чегарасида жойлашган критик нуқталарини топиш ва функциянинг бу нуқтадаги қийматларини ҳисоблаш;
3) функциянинг соҳа чегарасининг турли қисмлари туташган нуқталардаги кийматларини хисоблаш;
4) топилган барча қийматлар ичидан энг каттаси М ва энг кичиги m ни танлаш керак.
1-Мисол: Ушбу
функциянинг ва тўғри чизиқлар билан чегараланган ёпиқ соҳадаги энг катта ва энг кичик қийматлари топилсин.
Ечиш. Берилган тўғри чизиқлар билан чегараланган соҳани ясаймиз. Бу ерда D соҳа тўғри тўртбурчакдан иборат (3-шакл).
1. Соҳанинг ичидаги критик нуқталарни топамиз. Қуйидагига эга бўламиз:
Экстремум мавжуд бўлишининг зарурий шартига кўра бу хусусий ҳосилалар нолга тенг
y
C y=2 B
0 y=0 A x
1 D x=1
x=0
__
3-шакл
Экестремум мавжуд бўлишининг зарурий шартига кўра бу хусусий ҳосилалар нолга тенг бўлиши керак. Қуйидаги тенгламалар системасини ҳосил қиламиз:
Бу системани ечиб, ва ни топамиз.
нуқта функциянинг критик нуқтаси, бироқ соҳага тегишли эмас. Шундай қилиб, D ичида критик нуқлар мавжуд эмас. Демак, функция D соҳанинг ичида ўзининг энг катта ва энг кичик қийматига эришмайди.