Ikki o’zgaruvchili garmonik funksiyalar bir qiymatli analitik funksiyaning haqiqiy yoki mavhum qismidan iborat bo’lib, Laplas tenglamasining yechimi bo’ladi

2-misol. Agar funksiya berilgan bo’lsa, differensiallanuvchi funksiyani toping.
Yechish. funksiya butun kompleks tekislikda garmonik ekanligini yani

ko’rish mumkin.

bundan
(6)
(6) dan
(7)
topamiz. Ikkinchi tomondan, (1.2) ga ko’ra
(8)
(7) va (8) larni tenglashtirib,

(6) dan ni hosil qilamiz. Izlanayotgan funksiya

butun kompleks tekislikda differensiallanuvchi.


2. Garmonik funksiyaning asosiy xossalari
1-xossa. Ixtiyoriy garmonik funksiya o’zining argumentlarini analitik funksiyasidan iborat bo’ladi, yani sohaning har bir nuqtaning yig’indisi ko’rinishda tasvirlanadi.
(9)
Isbot. ni 1.2-teoremaga ko’ra nuqtaning atrofida bir qiymatli analitik funksiyaning haqiqiy qismi sifatida qarash mumkin. Bu nuqtaning atrofida
(10)
Bu yerda (1.10) qatorning umumiy hadini haqiqiy qismi
(11)
Absolyut qiymati bo’yicha

Oshmaydi, Abel teoremasiga ([1],19-n.) ko’ra (1.10) qator ixtiyoriy doirada absolyut yaqinlashadi, yani qator da yaqinlashadi, umumiy hadi (1.11) bo’lgan qator bo’lganda absolyut yaqinlashadi. Bu qator funksiya uchun qatorni ifodalaydi. Buning hadlarini guruhlarga talab qilingan (1.9) qatorlarni hosil qilamiz. Teorema isbot bo’ldi.
2-xossa (o’rta qiymat haqida). Agar funksiya markazi nuqtada, radiusi ga teng bo’lgan yopiq doirada uzluksiz va bu doirada garmonik bo’lsa, u holda
. (12)
Bu xossaning isboti bir qiymatli analitik funksiya uchun o’rta qiymatli haqidagi [2] teoremadan haqiqiy qismini ajratishdan osongina kelib chiqadi.
3-xossa. O’zgarmasdan farqli bo’lgan garmonik funksiya o’zining eng katta va eng kichik qiymatiga aniqlanish sohasining ichki nuqtasida erishishi mumkin emas.
Isbot. Xossani maksimum nuqta bo’lgan hol uchun isbotlash yetarli, chunki garmonik funksiyaning minimum nuqtasi funksiyani maksimum nuqtasi bo’ladi. Teskaridan faraz qilib, garmonik funksiya ichki nuqtada o’zining maksimumiga erishsin. nuqtaning atrofida shunday bir qiymatli funksiyani quramizki, funksiya analitik va o’zgarmas , uning moduli funksiya bizning farazimizga ko’ra sohaning ichki nuqtasida maksimumiga erishadi. Bu esa modulning maksimum prinsipiga ([1],15-n) ziddir. Xossa isbot bo’ldi.
3-misol. funksiyaning doiradagi extremal nuqtalari va extremal qiymatlarini toping.