Ikki o’zgaruvchili garmonik funksiyalar bir qiymatli analitik funksiyaning haqiqiy yoki mavhum qismidan iborat bo’lib, Laplas tenglamasining yechimi bo’ladi

1. Koshi-Riman sharti. Qo’shma garmonik funksiyalar
funksiya z₀ nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lsin. Agar
_{ } nisbat da aniq chekl limitga ega bo’lsa, bu limitga ) funksiyaning nuqtadagi hosilasi deyiladi va belgilanadi, funksiyaga z₀ nuqtada differensiallanuvchi deyiladi. Shunday qilib,
(1)


funksiya sohada differensiallanuvchi deyiladi, agar shu sohaning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo’lsa.
1.1–Teorema([1]). funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi uchun
1) va funksiyalar nuqtada differensiallanuvchi;

2. 
   nuqtada
   

(2)
Koshi – Riman shartining bajarilishi zarur va yetarlidir. hosila uchun
(3)
formula o’rinlidir.
1.1-misol. a) funksiyani differensiallanuvchanlikka tekshiring.
Yechish. funksiya butun kompleks tekislikda differensiallanuvchi, chunki , funksiyalar (2) Koshi – Riman shartini qanoatlantiradi, ya’ni
.
(1.3) formulaga ko’ra
.
Demak, .

2. 
   funksiyani differensiallanuvchanlikka tekshiring.
   

Yechish. .
va

(1.2) shartdan
bundan funksiya z=0 nuqtada differensiallanuvchi ekan.
funksiya sohada differensiallanuvchi va , funksiyalar ikkinchi shartigacha uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lsin, uzbekiston holda , (1.2) tenglikning birinchisini x bo’yicha, ikkinchisini uzbekiston bo’yicha differensiallab

hosil qilamiz.
Bu tengliklarni qo’shib, va hosilalarini uzluksiz ekanligidan tengligini inobatga olib ,
. (4)
Huddi shunga o’xshash (2) tenglikning birinchisini uzbekiston bo’yicha ikkinchisini x bo’yicha differensiallab

Hosil qilamiz. Bu tengliklarni birinchidan ikkinchisini ayirib

ega bo’lamiz.