Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient



Download 253,04 Kb.
bet5/8
Sana10.07.2022
Hajmi253,04 Kb.
#773544
1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
king

f (x, y y)  f (x, y) f (x, y) y , y y y y (10) y
tеnglikni hosil qilamiz. Teorema shartiga ko‘ra xususiy hosilalar uzluksiz va
x  0,y  0  x x, y y bo‘lgani uchun
lim f (x, y  y) f (x, y) , lim f (x, y) f (x, y)
x0 x x x0 y y
y0 y0
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklardan, limit xossasiga asosan (VII bob, §3, lemmaga qarang), quyidagi tengliklar kelib chiqadi:

f (x, y y) f (x, y) f (x, y) f (x, y)  1 ,  2 (11)
x x y y
Bu yerda γ1 vа γ2 x→0, y→0 bo‘lganda cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi. Endi (8) tenglikka dastlab (9)-(10), so‘ngra ular o‘rniga (11) tengliklarni qo‘yib, funksiyaning to‘la orttirmasini ushbu ko‘rinishga keltiramiz:
f f (x, y) x f (x, y) y 1x 2y . (12)
x y
Bu yerdan, (12) natijani (5) tenglik bilan taqqoslab, z=f(x,y) funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi va uning differensiali uchun (7) formula o‘rinli ekanligini ko‘ramiz. Teorema to‘la isbotlandi.
Masalan, yuqorida ko‘rib o‘tilgan f(x,y)=x2+xy+3y funksiyaning differensialini endi (7) formula bo‘yicha topamiz: df (x2 xy 3y)xx  (x2 xy 3y)y y  (2x y)x  (x  3)y.
Bu oldin olingan natijani ifodalaydi, ammo unga ancha oson erishildi.
Endi xususiy f(x,y)=x holda funksiya differensialini (7) formula orqali topamiz:
dx df f x f y 1 x  0 y  x.
x y
Xuddi shunday ravishda f(x,y)=y holda dy=∆y ekanligini ko‘ramiz. Shu sababli funksiya differensiali uchun (7) formulani ushbu ko‘rinishda yozish mumkin:

df f dx f dy . (13)
x y
Bu tenglikning o‘ng tomonidagi qo‘shiluvchilar z=f(x,y) funksiyaning mos ravishda x va y bo‘yicha xususiy differensiallari deyiladi va dx f , dy f kabi belgilanadi. Bu holda df to‘la differensial deb yuritiladi.
Izoh: Bir o‘zgaruvchili y=f(x) funksiya M(x) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun uning shu nuqtada faqat f ′(x) hosilasi mavjudligi talab qilinib, uning uzluksizligi talab etilmas edi. Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun esa uning xususiy hosilalarini mavjudligi differensiallanuvchi bo‘lishi uchun yetarli emas. Masalan,
f (x, y) 0, x  0 yoki y  0,
1, x  0 va y  0
funksiya uchun f(x,0)=0 va f(0,y)=0 bo‘lgani uchun O(0,0) nuqtada uning xususiy hosilalari mavjud va fx(0,0)  0 , fy(0,0)  0 . Ammo O(0,0) nuqtada bu funksiya to‘la orttirmasini (5) ko‘rinishda yozib bo‘lmaydi. Haqiqatan ham, ixtiyoriy ∆x≠0, ∆y≠0 uchun ∆f=f(0+∆x, 0+∆y)–f(0,0)=1–0=1, ya’ni ∆x→0, ∆y→0 bo‘lganda cheksiz kichik miqdor emas. Demak, O(0,0) nuqtada bu funksiyaning xususiy hosilalari mavjud, ammo differensiallanuvchi emas.

Download 253,04 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish