Икки каррали интеграллар

Икки каррали интеграллар

Режа:
1. Икки каррали интегралнинг таърифи.

2. Икки каррали интегрални ҳисоблаш.
3. Икки каррали интегралнинг татбиқлари.

1. Икки каррали интегралнинг таърифи. функция бирор соҳада аниқланган бўлсин. соҳани та қисмларга бўламиз. Ҳар бир қисмда биттадан нуқта танлаймиз ҳамда
(1)
йиғиндини тўзамиз. (1) йиғиндига функция учун соҳадаги интеграл йиғинди дейилади. l қисм соҳалар диаметрларининг энг каттаси бўлсин. соҳанинг юзи.
Таъриф. (1) интеграл йиғиндининг, қисмларга бўлиниш усулига, нуқталарнинг танланишига боғлиқ бўлмаган даги лимити мавжуд бўлса, бу лимитга функциянинг соҳадаги икки каррали интеграли дейилади ва

символ билан белгиланади.
Икки каррали интеграл аниқ интегралнинг икки ўзгарувчили(аргументли) функция учун умумлашган ҳолидир.
Икки каррали интеграл ҳам аниқ интегралнинг асосий хоссаларига эга. Аниқ интегралнинг хоссаларини такрорлашни тавсия этамиз.


2. Икки каррали интегрални ҳисоблаш. Икки каррали интегрални ҳисоблаш иккита аниқ интегрални кетма-кет ҳисоблашга келтирилади. соҳа функциялар графклари ҳамда тўғри чизиқлар билан чегараланган бўлсин, яъни

тенгсизликлар билан аниқланган бўлса, икки каррали интеграл қуйидагича ҳисобланади:
(1)
Охирги аниқ интеграл ички интеграл деб аталади ва уни ҳисоблашда ни ўзгармас деб, интеграллаш бўйича олиб борилади. Ички интегрални ҳисоблаш натижаси ташқи интеграл учун интеграл ости функцияси бўлади.
соҳа

тенгсизликлар билан аниқланган бўлса , икки каррали интеграл

формула ёрдамида иккита аниқ интегрални ҳисоблашга келтирилади.
1-мисол. интегрални соҳа: , тўғритўртбурчак бўлганда ҳисобланг.
Ечиш. (1) формулага асосан,
.
2-мисол. интегрални , чизиқлар билан чегараланган соҳа бўлганда ҳисобланг.
Ечиш. Биринчи чизиқ учи (0,2) нуқтада ўқига симметрик бўлган парабола. Иккинчиси чизиқ тўғри чизиқ. Бу чизиқларнинг кесишиш нуқталарини топамиз:

тенламалар системасини ечиб, нуқталарни топамиз. (1) формулага асосан,


бўлади.
3. Икки каррали интегралнинг татбиқлари.
интегралда бўлса, интеграл фигуранинг юзини ифодалайди, яъни

1-мисол. чизиқлар билан чегараланган соҳанинг юзини топинг.
Ечиш. Берилган чизиқларнинг кесишиш нуқталарини топамиз. кесишиш нуқталари бўлади. Шундай қилиб, юза

(кв. бирлик)
2. Юқоридан сирт, қуйидан текислик, ён томондан тўғри цилиндрик сирт билан ҳамда текисликда соҳани ҳосил қиладиган цилиндрик жисмнинг хажми

интеграл билан хисобланади.
2-мисол. , сиртлар билан чегараланган I октантадаги жисмнинг ҳажмини ҳисобланг.
Ечиш. Ҳажми ҳисобланиши керак бўлган жисм юқоридан текислик, ёндан параболик цилиндр, текислик билан чегараланган. Шундай килиб
3. Пластинка ҳар бир нуқтасидаги зичлик функцияси бўлса, унинг массаси

интеграл билан ҳисобланади.
Пластинканинг ўқларга нисбатан статик моментлари.
,
формулалар билан ҳисобланади.
Пластинка биржинсли, яъни бўлганда унинг оғирлик марказининг координаталари

формулалар ёрдамида топилади, бу ерда , соҳанинг юзи.
Пластинканинг ОХ ва ОУ ўқларига нисбатан инерция моментлари
,
формулалар билан, координатлар бошига нисбатан инерция моменти

формула билан аниқланади. Юқоридаги формулаларда деб текис фигураларнинг геометрик инерция моментларини топиш формулаларини оламиз.
3-мисол. чизиқлар билан чегараланган фигуранинг оғирлик марказининг координатларини топинг.
Ечиш. Чизиқлар ўқига нисбатан симметрик бўлганлиги учун ни топамиз:


. Демак .