Ikki karrali integralda o‘zgaruvchilarni almashtirish

IKKI KARRALI INTEGRALDA O‘ZGARUVCHILARNI ALMASHTIRISH


ikki o‘lchovli integralda to‘g‘ri burchakli koordinatalar x, y bilan quyidagicha munosabatlar orqali bog‘langan yangi u, v koordinatalarga o‘tkaziladi
(1)
Agar va sohalar(1-shakl) o‘rtasida (1) munosabatlar orqali o‘zaro bir qiymatli akslantirish o‘rnatilgan bo‘lsa, shu bilan birga akslantirish yakobiani

bo‘lsa, quyidagi formula o‘rinlidir:
(2)
(2) formulada yakobianni hisoblashda
(3)
tengliklar bilan ifodalangan formulasidan foydalanish ham mumkin.

1-shakl.
1-misol. Ikki karrali integralni hisoblang: , bu yerda to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan kvadratdir.
► almashtirishni bajaramiz, bundan U holda almashtirishning Yakobiani

Demak, .
Bundan, .
soha chiziqlar bilan chegaralangan kvadrat bo‘lgani uchun,

. ◄
Ma’lumki, to‘g‘ri burchakli x,y va qutb koordinatalar o‘zaro

munosabatlar bilan bog‘langan. Bu yerda .
Ikki karrali integralda to‘gri burchakli koordinatalardan qutb koordinatalarga o‘tish quyidagi formula orqali amalga oshiriladi:
. (4)
Integrallash chegaralari O qutbning vaziyatiga bog‘liq bo‘ladi.
a) Agar O qutb va nurlar, hamda va chiziqlar bilan chegaralangan D soha tashqarisida yotsa, shuningdek, va nurlar soha chegarasini ikki nuqtada kesib o‘tsa, ikki karrali integral quyidagi formula bilan hisoblanadi:
(5)
b) Agar O qutb D soha ichida joylashgan bo‘lsa va bu soha chegarasi qutb koordinatalar sistemasida ko‘rinishiga ega bo‘lsa, u holda ikki karrali integral quyidagi formula bilan hisoblanadi:
(6)
c) Agar O qutb va nurlar bilan chegaralangan D soha chegarasida yotsa, shu bilan birga, chegaraning qutb koordinatalar sistemasida tenglamasi ko‘rinishiga ega bo‘lsa, u holda ikki karrali integral quydagi formula bilan hisoblanadi:
(7)
2-misol. integralda, qutb koordinatalari sistemasiga o‘tib, integral chegarasini qo‘ying. Bu yerda

►

Kesishish nuqtalarini topamiz:

Bundan, bo‘lgani uchun, quyidagiga ega bo‘lamiz: .
Demak, (7) ga ko‘ra,
.◄
3-misol. Berilgan integralni qutb koordinatalar sistemasiga o‘tib hisoblang.
► dan foydalanamiz.


.◄

Мавзуга доир топшириқлар

1. 
   integralni hisoblang. Bu yerda chiziqlar bilan chegaralangan soha.
   
2. 
   integralni hisoblang. Bu yerda , parabolalar bilan chegaralangan soha.
   
3. 
   integralni qutb koordinatalaridan foydalanib hisoblang. Bu yerda aylana bilan chegaralangan soha.
   
4. 
   integralni qutb koordinatalaridan foydalanib hisoblang. Bu yerda , chiziqlar bilan chegaralangan halqa qismi.
   

Ko`rsatilgan soha uchun integralda qutb koordinatalariga o`tib, integrallash chegaralari ikki xil tartibda qo`yilsin.

5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   
10. 
    
    
11. 
    
    
12. 
    
    
13. 
    
    
14. 
    
    
15. 
    
    

Berilgan chiziqlar chegaralangan D sohada ikki karrali integralni hisoblang.

16. 
    
    
17. 
    
    
18. 
    
    
19. 
    
    
20. 
    
    
21. 
    
    
22. 
    
    
23. 
    
    
24. 
    
    
25. 
    
    
26. 
    
    
27. 
    
    
28. 
    
    
29. 
    
    
30. 
    
    
31. 
    
    
32. 
    
    
33. 
    
    
34. 
    
    
35. 
    
    
36. 
    
    
37. 
    
    
38. 
    
    
39. 
    
    
40. 
    
    

Mustaqil yechish uchun testlar

1. 
   integralni hisoblang. Bu yerda radiusli markazi koordinata boshida boʻlgan doira sohasi.
   

A) ; B) D) ; E)
2. integralda va chiziqlar bilan chegaralangan soha boʻlsa, integraldagi almashtirish yakobianini toping.
A) ; B) ; D) ; E) .
3. integralda va aylanalar bilan chegaralangan soha boʻlsa, integral chegarasini qoʻying.
A) B)
D) E) .
4. integralni hisoblang. Bu yerda va aylanalar bilan chegaralangan soha.
A) ; B) ; D) ; E) .
5. integralni hisoblang. Bu yerda, , va tengsizliklar bilan aniqlangan soha.
A) ; B) ; D) ; E) .