Iii. Задача об определении изменения температуры во времени в изолированных точках стержня

Глава III. Задача об определении изменения температуры во времени в изолированных точках стержня.
В этой главе поставлена задача об определении изменения температуры в отдельных точках теплопроводящего тела на основа данных измерителя температуры в других точках. Начальное распределения температуры при этом считается неизвестным. Эта задача сведена к вопросу вычисления (представления) проекции таких изменений на данные базисные направления в. Изложен вывод соответствующих сопряженных задач. Даны достаточные условия идентификации (восстановления) проекции искомой функции по данным связям. Указан метод решения сопряженной задачи на основе идеи метода минимизации невязок. Построены координатные функции множества наблюдаемых проекций искомой функции изменения температуры.

§ I. Постановка задачи.
Рассмотрим нагрев бесконечной пластины конечной толщины , в предположении, что начальная температура пластины и прогресс нагрева проходят идентично по толщине во всех сечениях параллельных её боковой поверхности [ ]. Тогда достаточно анализировать ход процесса в некотором «стержне», расположенном в пластине.
Пусть распределение температуры по толщине пластины и во времени описывается функцией определяемой в прямоугольнике, где где – фиксированное число. Функцию назовем фазовым состоянием процесса нагрева. Внутри отрезка [0,1] и при распределение температуры подчиняется уравнению теплопроводности:
(3.1.1)
Здесь а – коэффициент теплопроводности. На концах стержня приняты следующие условия теплопередачи:
(3.1.2)
где – коэффициент теплопроводности, – коэффициент теплообмена между греющей средой соответственно с одной стороны и боковой поверхностью пластины с другой. Левый конец пластины тепло изолирован. Температуру греющей среды назовем управляющим воздействием или просто управлением.
Пусть в процессе нагрева имеется возможность измерять изменение температуры в некоторых точках нагреваемого тела. Задача определения изменения температуры по времени в заданной точке стержня по известному измерению температуры в точке и законом теплопередачи (1)-(2) составляет предмет задачи идентификации (процесса) нагрева, рассматриваемой ниже.
Функции связанные с точками :
(3.1.3)
назовем измеряемой компонентой процесса нагрева.
Пусть
Задача 1. По функциям , константам и соотношениям (1)-(3) определить ( ,t), .
Пусть – некоторое данная функция из .
Задача 2. При всех данных задачи 1 найти величину
(3.1.4)
Понятно, что решения задачи 2 при различных функциях , составляющих базис пространства позволит найти функцию ( ,t) по проекциям (4) как элемент . Поэтому далее будем рассматривать только задачу.
2. Для краткости изложения рассмотрим ниже наблюдение по одному датчику (n=1) : распространение на общий случай принципиально будет понятным.