Ii bosqich 205-guruh talabasi bo’riyev ramazonning

III. BOB. Ko’p o’zgaruvchili murakkab funksiyaning differensiallanuvchiligi.

3.1. Murakkab funksiyaning differensiallanuvchiligi.
funksiya ochiq M (M⊂R^m ) to’plamda berilgan bo’lib, o’zgaruvchilarning har biri o’z navbatida o’zgaruvchilarning T (T⊂R^k ) to’plamda berilgan funksiya bo’lsin:
,
,
…………………………
. (8)
Bundan bo’lganda unga mos M bo’lsin. Natijada ushbu

murrakkab funksiyaga ega bo’lamiz.
Agar (8) funksiyaning har biri ) nuqtada differensiallanuvchi bo’lib, funksiya esa mos ) nuqtada ), ), ) differensiallanuvchi bo’lsa, u holda murrakkab funksiya ham ) bo’ladi.
Isbot. ) nuqtani olib, uning koordinatalariga mos ravishda shunday orttirmalar beraylikki, ) bo’lsin. U hlda (8) ifodadagi har bir funksiya ham orttirmalarga va nihoyat funksiya ega bo’ladi.
19
Shartga ko’ra (8) ifodadagi funksiyalarni har birini ) nuqtada differensiallanuvchi. Demak,
,
,
,
…………………………………………………
(9)
bo’ladi. (i=1, 2, …….. , m; j=1, 2, ………, k) xususiy hosilalarining ) nuqtadagi qiymatlari olingan ,

Shartga asosan, funksiya birini ) nuqtada differensiallanuvchi. Demak,
= (10)
bo’ladi, bunda (i=1, 2, …, m) ) xususiy hosilalarining ) nuqtadagi qiymatlari olingan va , , bo’ladi.
(9) va (10) munosabatlardan topamiz:


20




………………………………………………..+

+ . (11) Bu tenglikdagi yig’indi o’zgarmas ga bog’liq emas) bo’lganligi sababli

bo’ladi.
Modomiki, (i=1, 2, …… m) funksiyalar ) nuqtada differensiallanuvchi ekan, ular shu nuqtada uzluksiz bo’ladi. unda uzluksizlik ta’rifiga ko’ra da , yani bo’ladi. Yana ham aniqroq aytsak, (9) formuladan da , , ekanligi kelib chiqadi. esa Demak,
barcha barcha ……..+
21
Shunday qilib,
(12)
bo’ladi. Agar ushbu

(j=1, 2, …,k) belgilashni kiritsak, u holda (11) va (12) munosabatdan

kelib chiqadi. Bu esa , )=F murakkab funksiyaning ) nuqtadagi differensiallanuvchi ekanligini bildiradi.