Ii bosqich 205-guruh talabasi bo’riyev ramazonning

I BOB. Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning differensiallanuvchiligi tushunchasi.

1.1.Differensiallanuvchiligining zaruriy sharti.
funksiya ochiq M (M⊂R^m ) to’plamda berilgan bo’lsin. Bu to’plamda ( nuqta bilan birga
( nuqtani olib berilgan funksiyaning to’la orttirmasi
-f ( ) ni qaraymiz.
Ravshanki, funksiyaning orttirmasi argumentlar orttirmalari larga bog’liq bo’lib, ko’pchilik hollarda lar bilan orasidagi bog’lanish murakkab bo’ladi. Tabbiiyki, bunda larga ko’ra aniq yoki taqribiy hisoblash qo’llaniladi. Natijada orttirmasi orttirmalar bilan soddaroq bog’lanishda bo’lgan funksiyalarni o’rganish masalasi yuzaga keladi.
1-ta’rif. Agar f (x) funksiyaning nuqtadagi funksiyaning orttirmasini
(1) ko’rinishda ifodalash mumkun bo’lsa f (x) funksiya nuqtada differensiallanuvchi deb ataladi, bunda lar larga bog’liq bo’lmagan o’zgarmaslar , , , … , lar esa larga bo’g’liq va , da , … , ( bo’lganda = = … = =0 deb olinadi).
Agar f (x) funksiya M to’plamning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo’lsa,
9
f (x) funksiya M to’plamda differensiallanuvchi deb ataladi
Misol. Ushbu funksiyaga qaraylik. Bu funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’ladi. Haqiqatdan ham, nuqtada berilgan funksiyaning orttirmasi
-f ( ) =
bo’lib, unda =2 , =2 , , = deyilsa , natijada

bo’ladi. Bu esa berilgan funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi ekanligini bildiradi.
f (x) funksiyaning nuqtada differensiallanuvchilik sharti (1) ni quyidagi (2)
ko’rinishda ham yozish mumkinligini ko’rsatamiz, bunda nuqtalar orasidagi masofa:
.
Ravshanki,
, →
va
→
bo’ladi.
Endi , da (1) munosabatdagi miqdorda ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik
10
miqdor ekanligini ko’rsatadi. Agar
( munosabatda

bo’lishini e’tiborga olsak, unda
bo’ladi. Demak,
( .
Shunday qilib , (1) shartni o’rinli bo’lishidan (2) ning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.
Agar f (x) funksiya ning nuqtadagi differensiallanuvchilik sharti (2) ko’rinishda o’rinli bo’lsa, bundan bu shartning (1) ko’rinishda ham o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.Shuni isbotlaylik.
Agar =0 bo’lsa, unda bo’ladi va (2) dan (1) kelib chiqadi.
bo’lsin. Unda larning barchasi bir yula nolga teng bo’lmaydi. Shuni e’tiborga olib quyidagini topamiz:


bundan
11
(k=1, 2, 3, ……. m)
bo’lib, ya’ni , da , … .
Demak, f (x) funksiyaning nuqtadagi differensiallanuvchiligining (1) va (2) shartlari ham o’zaro ekvivalentdir.