Ii bosqich 205-guruh talabasi bo’riyev ramazonning

1.2. nuqtada differensiallanuvchiligi haqidagi teorema
1-Teorema. Agar f (x) funksiyaning nuqtadagi differensiallanuvchi bo’lsa, u holda bu funksiya shu nuqtada uzluksiz bo’ladi.
Isbot. f (x) funksiyaning nuqtadagi differensiallanuvchi. bo’lsin. U holda ta’rifga ko’ra funksiya orttirmasi uchun

bo’ladi. bunda , , … , o’zgarmas, , da (3)
Yuqoridagi tengsizlikdan

bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa f (x) funksiyaning nuqtadagi uzluksizligini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.
2- Teorema. Agar f (x) funksiyaning nuqtadagi differensiallanuvchi bo’lsa, u holda bu funksiyaning shu nuqtada barcha xususiy hosilalari ( ), ( ), … , ( ) mavjud va ular mos ravishda (1) munosabatdagi
12
, , … … , larga teng bo’ladi. ya’ni
( )= , ( , ( )=
Isbot. f (x) funksiyaning nuqtadagi differensiallanuvchi bo’lsin. U holda ta’rifga ko’ra funksiya orttirmasi uchun
(3)
bo’ladi. Bu tenglikdan

deb olsak, unda (1) ushbu

ko’rinishini oladi. Bu tenglikning har ikki tomonini ga bo’lib so’ng da limitga o’tib, quyidagini topamiz

Demak,
( )= .
Xuddi shunga o’xshash f (x) funksiyaning nuqtadagi ( ) ( ), … ( ) xususiy hosilalarining mavjudligi hamda
( )= , ( )= , … ( )= .
ekanligi ko’rsatiladi. Teorema isbot bo’ldi.
1-Natija. Agar f (x) funksiyaning nuqtadagi differensiallanuvchi bo’lsa, u holda
13
( ) ( ) ( ) (4)
bo’ladi.
Eslatma. f (x) funksiyaning biror nuqtadagi barcha xususiy hosilalari ( ), ( ), … , ( ) ning mavjud bo’lishidan funksiyaning shu nuqtadagi differensiallanuvchi bo’lishi har doim kelib chiqaveradi.
Masalan, ushbu

funksiyani qaraylik. Bu funksiya nuqtada xususiy hosilalarga ega:

berilgan funksiyaning (0, 0) nuqtadagi orttirmasi
( )=f( bo’lib, uni (3) va (4) ko’rinishda ifodalab bo’lmaydi. Buni isbotlash maqsadida, teskarisini , ya’ni ) funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin deb faraz qilaylik. Unda
( )= (5)
bo’lib, bu munosabatda bo’ladi.
Demak,
14

Ma’lumki, lar ixtiyoriy orttirmalardir. Jumladan , bo’lganda tenlik ushbu

ko’rinishga krlib undan esa

bo’lishi kelib chiqadi. Natijada da miqdorlarning nolga imtilmasligini topamiz. Bu esa funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin deb qilingan farazga zid. Demak, berilgan funksiya nuqtada xususiy hosilalarga ega, ammo u shu nuqtada differensiallanuvchilik shartini bajarmaydi.
Shunday qilib, funksiyaning biror nuqtadagi barcha xususiy hosilalarga ega bo’lishi, funksiyaning shu nuqtadagi differensiallanuvchi bo’lishining zaruriy shartidan iborat ekan.

15