Ii bosqich 205-guruh talabasi bo’riyev ramazonning

II BOB. Funksiyaning differensiallanuvchiligining yetarli sharti.
2.1. Differensiallanuvchiligining yetarli sharti.
Endi ko’p o’zgaruvchili funksiya differensiallanuvchi bo’lishining yetarli shartini keltiramiz.
funksiya ochiq M (M⊂R^m ) to’plamda berilgan bo’lib. =( nuqta shu to’plamga tegishli bo’lsin.
3-Teorema. Agar f (x) funksiyaning nuqtaning biror atrofida barcha o’zgaruvchilari bo'yicha xususiy hosilalarga ega bo’lib , bu xususiy hosilalar shu nuqtada uzluksiz bo’lsa, f (x) funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’ladi. Isbot. nuqtani olib , uning koordinatalariga mos ravishda shunday orttirmalar beraylikki, nuqta nuqtaning aytilgan atrofiga tegishli bo’lsin. So’ng funksiya orttirmasi
- f ( ) ni quyidagicha yozib olamiz:
- f ( (7)
Bu tenglikning o’ng tomonidagi har bir ayirma tegishli bitta argumentning funksiyasi orttirmasi sifatida qaralishi mumkun. Uning uchun Lagranj teoremasini tatbiq qila olamiz, chunki teoremamizda keltirilgan shartlar Lagranj teoremasining shartlarining bajarilishini taminlaydi.

16
2.2. Funksiya orttirmasining formulasi

……….. ………… ………….. ………..
(6)
bundan
0< ).
Odatda (6) funksiya orttirmasining formulasi deb ataladi.
Shartga ko’ra
,
,
… … … … … … … …. …. …
, (7)
bo’lib , ,
bo’ladi.
(6) va (7) munosabatdan
…+
bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa f(x) funksiyaning nuqtadagi differensiallanuvchi ekanligini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.
Bir va ko’p funksiyalarda funksiyaning differensiallanuvchiligi tushunchasi kiritildi. Ularni solishtirib quyidagi xossalarga kelamiz.
1) Bir o’zgaruvchili funksiyalarda ham ko’p o’zgaruvchili funksiyalarda ham funksiyaning biror nuqtada differensiallanuvchi bo’lishidan uning shu nuqtadan uzluksiz bo’lishi kelib chiqadi. Demak, bir va ko’p o’zgaruvchi funksiyalarda funksiyaning differensiallanuvchibo’lishi bilan uning uzluksiz
17
bo’lishi orasidagi munosabat bir xil.
2) Ma’lumki, Bir o’zgaruvchili funksiyalarda funksiyaning biror nuqtada differensiallanuvchi bo’lishidan uning shu nuqtadan chekli hosilaga ega bo’lishi kelib chiqadi va aksincha funksiyaning biror nuqtada chekli hosilaga ega bo’lishidan uning shu nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi kelib chiqadi.
Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarda funksiyaning biror nuqtada differensiallanuvchi bo’lishidan uning shu nuqtadan barcha chekli xususiy hosilaga ega bo’lishi kelib chiqadi . Biroq funksiyaning biror nuqtada barcha chekli xususiy hosilaga ega bo’lishi har doim kelib chiqavermaydi.
Demak, bir va ko’p o’zgaruvchili funksiyalarda funksiyaning differensiallanuvchi bo’lishi bilan uning hosilaga ( xususiy hosilaga ) ega bo’lishi orasidagi munosabat bir xil emas ekan

18