Ii. Asosiy qism: Ildizlar ajratish

Teorema 2. (Lagranj teoremasi.) Agar (1) tenglamaning manfiy koeffitsiyentlaridan eng birinchisi (chapdan hisoblaganda) b o ‘lib, B manfiy koeffitsiyentlarning absolut qiymatlari bo‘yicha eng kattasi bo‘lsa, u holda musbat ildizlaming yuqori chegarasi

son bilan ifodalanadi.
Isboti. Bu yerda ham x > 1deb olamiz. Manfiy bo‘lmagan larni nol bilan almashtiramiz, larni esa -B ga almashtirsak ko‘phadning qiymati kamayishi mumkin. Shuning uchun

tengsizlikka ega bo’lamiz. Bundan esa x>1 bo’lganda

kelib chiqadi.Demak,

bo’lganda ga ega bo‘lamiz, ya’ni (1) tenglamaning barcha musbat ildizlari < R tengsizlikni qanoatlantiradi.
Teorema 3. (Nyuton teoremasi.) Agar x = c>0 uchun shart o‘rinli bo‘lsa, R = c ni (1)ning musbat ildizlari uchun yuqori chegara deb olish mumkin.
Isboti. Teylor formulasiga ko‘ra

Shartga ko‘ra, bo‘lganda summaning har bir hadi musbatdir. Demak, (1) ning barcha musbat ildizlari tengsizlikni qanoatlantiradi.
Agar quyidagi ko'phadlarga

yuqoridagi teoremalarni qo‘llab, larning musbat ildizlarining mos ravishda yuqori chegaralari topilgan bo’lsa,u holda (1) tenglamaning hamma musbat ildizlari va barcha manfiy ildizlari tengsizlikni qanoatlantiradi.

Tenglamalarni yechishda iteratsiya usuli.

Berilgan tenglamaning ildizlari ajratilgan bo‘lsin.
Iteratsiya metodini qo‘llash uchun tenglamani
(1)
kanonik ko‘rinishga keltiramiz. Ildiz yotgan oraliqdan ixtiyoriy nuqta olib, izlanayotgan ildizning dastlabki yaqinlashishi deb, quyidagi ketma-ketlikni (iteratsion jarayonni) hosil qilamiz:
(2)
Agar
(3)
mavjud va funksiya uzluksiz bo‘lsa, tenglikning har ikkala tomonida limitga o‘tsak,

ya’ni

hosil bo‘ladi. Demak, berilgan tenglamaning ildizi ekan va uni (2) yordamida talab qilingan aniqlikda topish mumkin. (3) limit mavjud bo‘lgan holda, iteratsiya jarayoni yaqinlashuvchi deyiladi. Quyidagi teorema iteratsion jarayonning yaqinlashishini ko‘rsatadi.