И здан и е второе, стереотипное

6
)
(Аи,
h ) S s 7е || 
и
||*.
( 7 )
X
(8
1
Но 
и
(0) = 0 в силу условий (4), поэтому
X
и
(
х
) = $u' 
(t) dt.
о
По неравенству Буняковского
X
X
 
X
1
и* (х)
< U
dt-
ij 
и
(
t) dt — х \ ил 
d t ^ S иЛ
( 0
dt-
о 
д
о

---

Проинтегрируем последнее неравенство по jc в пределах от О 
до 1:
О ператор 
А
положительно определен; число -у можно принять рав­
ным единице.
3 . 
С у щ еств у ю т о п е р а т о р ы полож ительны е, но не полож и­
те л ь н о оп ред елен н ы е. Ч тобы убедиться в этом, рассм отрим
сл ед у ю щ и й пример.
П у сть о п ер а то р
В
о п р ед ел яе тс я ф орм улой
Будем р ассм ат р и в ат ь
В
к ак оператор в ги л ьб ер то в о м п р о ­
с т р а н с т в е
L%
(0, 
о о ) . 
З а о б л а с т ь определения 
D
(
В
) это го о п е­
р а т о р а примем м н о ж ес тв о функций, у д о в л етв о р яю щ и х с л е­
дую щ им требованиям : 1) 
и
С (4) [0, оо), 2) н ( 0 ) — О, 3) для 
к аж д о й ф ункции 
и 
D (В)
сущ ествует свое ч и с л о
а„
такое, 
ч т о
и
(
jc
) 
=
0 при 
х ^ > а и.
 
О чевидно, 
Б ( В ) С Щ ( р ,
 
о о ).
Д ок аж ем , что о п р ед ел ен н ы й так оп ер ато р
В
полож ителен, 
н о не п о л о ж и тел ьн о о п р ед ел е н . П р еж д е всего д о к а ж ем , что 
D (В)
= Z.9 (0, о о ). Д о с т а т о ч н о д ок азать, что для лю бой ф у н к ­
ции <р £
Lz
(0 , о о ) и л ю б о г о числа е 
0
н ай д ется функция 
u ^ D ( B )
та к а я, что || <р — и ||< ^ е . И нтеграл
кон еч ен , п о это м у м о ж н о найти числа 8 
0
и 
N ^ >
0 такие, что
|| 
и
И* = ^ 
и3 (х) d x ^ \
ил 
(х) dx.
Сопоставив это с формулой (5), получим 
(Аи,
ы )5г | | а | | 2.
B
t l = =
~
d
^
’  
0
О
<
°
°
•
(
10
)
ОО
$ <Р*(*) 
d x
ОО
Введем 
ф ункцию
О, 0 < д г < 8.
(Ji (
jc
) =
< р ( х ), 8 < д г < Л / ,
0, 
N.

---

Ясно, ч то ф ^ /,2 (0, оо); при этом
оо
II 
<Р —
Ф IP 
=
5 
(<р|х) — ф 
( x ) f d x =
о
=
5 <Р9
( X )
d x
+
\
9 * ( л г )
d x
< *
т ,
О 
N
и, сл е д о в ате л ь н о , ]| <р — ф | ! < С у .
Усредним теп ер ь функцию ф, взяв рад и ус у ср ед н ен и я 
h 
<С 
~2
 
>
и 
полож им
и 
( х ) = ft 
(х).
О чевидно, фл ( х )
D  
(fl): 
ф у н к ц и я ф д (х ) бескон еч н о д и ф ф ерен ц и руем а, о б р а щ а е тс я в 
н у л ь при х = 0 (б о л ее того, при лю бом
х ^ - ^ У ,
н акон ец ,
чи сл о
аа
м ож но взять равным 7V—
{—
. Д алее,
00 
N
+ 5/2
||и — ф 
II
4
 
= 5 (н ( х ) — ф 
( x ) f d x —
5 
( « С*) 
—
ФС*))® 
d x
=
о
о
N + (/2
=
S 
( b ( x ) — ty{x))*dx.
о
П о те о р е м е 1.3.3 при д о с та то ч н о м алом
h
последний и н те г­
р а л б у д е т меньш е, чем 
и, сл е д о в а т е л ь н о |[ к — ф | | <С ^ '»
Т е п е р ь по н еравен ству т р е у го л ь н и к а
. j | « — ? l l * s ! l « — ф 11 + IIф — < p i l < e > '
и н а ш е у тв ер ж д ен и е доказан о.
Л е г к о д о к а за т ь , что о п е р а то р
В
сим м етричен. В самом 
д е л е, пусть к, 
v
D (В),
с л е д о в ате л ь н о , к аж д ая из ф ункций 
и. 
v
у д о в л е т в о р я е т условиям 1) — 3).
С о с т а в и м билинейны й ф у н к ц и о н ал
CO 
j
V
(
Ви, v ) =
— J г> 
d
d^ d x = — ^ v d
d “2 dx.
о
0
З д е с ь
N
— лю бое число, б о л ь ш е е чем 
аи
и а„; при 
x — N
обе ф у н к ц и и
и 
и 
v
и все их п р о и зв о д н ы е о б р а щ а ю т с я в нуль.

---

И н тегр и р о ван и е по частям дае!
N
оо
(Ви, v) —
^ 
и'
(лг) 
v ’
(лг) 
d x
= ^ 
и’
(лг)У (лг) 
dx.
( 11)
0
U
А налоги чн о
со
(Bv, u) = Sjur
(лг) 
v
'
(лг) 
dx,
о
и, сл е д о в ате л ьн о ,
(Ви, v) = (Bv,
н) = (и, 
Bv),
т. е. 
В
— симм етричны й оператор.
Д о к а ж е м теп ерь, что 
В
— п олож и тельн ы й о п ер а то р . П о 
ф о р м у л е ( И ) имеем
00
(Ви,
и) = ^ и'* 
(х) d x
0.
о
П р и этом , если 
(Ви, и) =
0, то
^ 
(
лг
) 
d x — 0.
о
Т а к к а к п о д ы н тегр аль н ая функция н еотрицательна, т о
и’
( х ) = О 
и м ( х ) = co n st; но н ( 0 ) = 0 , и о к о н ч ател ь н о
и (х ) = 0.
О п ер а то р
В
не п ол ож и тельн о опред елен. Ч тобы убедиться
в этом , д о к а ж ем , что нижняя грань о тн ош ен и я 
Р ав ‘
на нулю .
В озьм ем п о сл е д о ва те л ьн о сть ф ункций
и„
(лг) 
I х (п
—
x f ’
если 
0
< .к < я>
\
0
, 
если 
х
п.
Л е г к о видеть, что 
ип 
D (В).
Н айдем норм у м„. Имеем
СО 
п
II
11 п
||* = 5 
11 а (х) d x = \s x i (п
—
x f dx.
о 
о
С д ел аем зам ен у 
х
—
nt:

---

П оследн и й и н теграл есть п ол о ж и тел ьн ая постоянная, не з а ­
ви сящ ая от 
щ
обозначим ее через 
ct.
Т о г д а |[ « „ | [ 4 =
с^п*.
Д ал ее,
00
п
(
BUn, и„) —
$
п'п
(дг
) d x = \ ( n —
4лг)3 ( я
—x f dx.
и 
о
З а м е н а 
x — nt
д ает
1
(Bun,
к„) — и 7 ^ ( 1 — 0 * (1 — 4 /)s 
d t
— с8я 7, 
^
= c o n s t 
о
Т еп ерь
(ДЦ/1> 
Ufl)
__ С8 
Q
II «* II* 
“
и, следовательн о,
inf
(fiu , и) _
0
II и II* —
§ 3. Энергетическое пространство
I . 
С каж ды м
п ол ож и тельн о 
оп ред елен н ы м
оп ератором
м о ж н о связать н е к о то р о е ги л ьб ер то в о п р о ст р ан с тв о , к о т о р о е
мы будем назы вать 
энергетическим пространством
д а н н о го
о п ератора.
П усть 
Н
— ги л ьб ер то в о п р о с т р а н с тв о и 
А
— о п ер а то р , 
п о лож и тел ьн о определенны й в этом п р о стр ан с тве . П остр о им
новое ги льб ертово п ростран ство. К числу е г о элем ентов о т ­
несем все элем енты м нож ества 
D { A
) и на них определим
н о во е ск аля д н о е произведение:
\и, 
v
]
a
 — (A
u
, v)\ 
u , v £ D ( A ) .
(1 )
Как известно, ск а ля р н о е п р ои зведен и е в ги л ь б ер то в о м п р о ­
с т р ан с тв е д о л ж н о у д о в л етв о р ять трем ак сиом ам :
А. 
С имм етричность '): если (и, г») ес ть с к а л я р н о е п р о и зв е ­
дение элем ентов 
и
и 
v,
то
(«, 
V) 
=
(v , 
и).
*) Мы рассматриваем вещественное гильбертово пространство. 
Аксиома симметричности для комплексного гильбертова простран­
ства выражается равенством («, 
v )
— 
(и, 
и).
4-1567

---

B. Л и н ей н ость: если Xj и Х^ суть числа, то
(XjMj - j-
\ и г, v) —
X, 
( H i ,
v)
+
(W4> *0-
C. П о л о ж и те л ьн о с ть:
(и, 
it)
0
,
причем 
(и,
и) = 0 тогда и то л ь к о то гд а, к о гд а н = 0 (т. е. 
и
есть нулевой элем ен т п ространства).
Д о к а ж е м , что вы раж ение [«, 
v \A,
о п р ед ел ен н о е р ав ен с т­
вом ( 1), у д о в л е тв о р я е т аксиомам А — С.
A. С им м етричность. Имеем
[и, 
v
)
a
 
=
( A
u
, 
v
) — (
u
, 
Av) = (Av,
н) =
\v, 
и]л .
З д е с ь мы в о с п о л ьзо в а л и сь сим м етричностью о п е р а то р а
А
и 
си м м етри ч н остью с к а ля р н о го произведения в исходном п р о ­
с т р ан с тв е 
И.
Б. Л ин ей н ость. В оспользуем ся линейностью о п е р а то р а
А.
Т огда
l-X jii, - | ~ Х 2« ,2> 
а
=
(А
( Х , н ,
Х 2н 4) , к ) =
= (X,i4iii -J- 
\ A u it v) =
X, 
(Aut, v)
-f- 
\ ( А и г, v) =
—
X ) [ h j ,
v
]
a
- f - X^, | н а ,
B. П о л о ж и те л ь н о с ть . П о н еравен ств у п олож ительны й оп ­
ред ел е н н о сти (2 .7 ) имеем [н, м]^ 
7
® || 
и
0. Д алее, если
|
и, и\А =
0, т. е. 
(Аи, и) = 0,
то из т о г о ж е н еравен ства (2 .7 ) 
в ы т ек ае т, что и = 0. О чевидно, верн о и о б ратн ое: из того, 
что 
и =
0 , сл е д у е т (Ли, н) = 0 и [и, 
tt\A
= 0 .
И та к , в ы р а ж е н и е (1 ) у д о в л етв о р яет всем аксиом ам с к а ­
л я р н о г о прои зведен и я. П риняв 
[и, v]A
за с к а л я р н о е п р о и з­
веден и е, мы преврати м м нож ество 
D (A )
в ги л ь б е р то в о п р о ­
ст р а н с тв о . О н о м ож ет оказаться неполным, — в этом сл уч ае 
обы чн ы м сп о со б о м пополним его. П о п олн ен н ое п р о ст р ан с тв о
н азовем
энергетическим
и будем обозн ач ать ч е р ез 
НА.
Н о в о е с к а л я р н о е произведение п орож д ает новую норму, 
к о т о р у ю мы обозначим символом |
| л: