И здан и е второе, стереотипное

Уравнениями Монжа
— 
Ампера
называют уравнения
вида
2
*
х
2
 
Aik(.x > z > D z ) z Xixk-\-
i, 
A = l
- |- f i ( jf , 
z, D z) =
0, 
Ajk — Aki
•
Это — уравнение относительно функций с двумя независи­
мыми переменными. Отличительной их чертой является при­
сутствие в качестве главного члена выражения
Z Х\Х
1
Z x
2 * 2
ZXiX$
•
Оператор
Н
(.?) =
Z X i Xi Z X i X l
Z XiX-2
называется 
простейшим оператором М онж а
— 
Ампера.

---

Функция
2
F (x , Z, р,
г) = ГцГм — r ,9r ai-j- У] 
A ik( x ,z ,p ) r ik - j - B ( x ,z ,p )
«.*=1
будет непрерывной тогда и только тогда, когда функции 
'l'* (х > 
z > Р)> В (х , z, р)
непрерывны при всех 
х
£ 2 (здесь 
2 — область 
на 
плоскости переменных л^, д:4) и любых 
г
^ ( 
° ° , + со), 
р ^ Р .
При выполнении этого условия 
функция 
F (x , Z, р, г)
имеет также непрерывные производные
d F
__
. 
d F
dTlt
— Г я +
дРТ,= = ~
Г*
1 +
d F
__
. 
d F
дгг1 —
SrZ — ГП + А«-
Выясним, при каких условиях уравнение (3) будет эллип­
тическим. Пусть 
г
(я ,, 
Xi)
— произвольная функция из 0 8> (2).
Т ( Ф , Z)
=
( z XiXi
_}_ 
А п ) и __
2 
_
А п )
+
+ ( z x l Xl - Ь A s)
Квадратичная форма 
Т(Ф, z )
будет определенной тогда 
и только тогда, когда в 2 будет выполнено неравенство
(2**х* “Ь A i) (z Jetx, -f- Аа) — (z x,x2 — A s)9 
0.
Пусть 
z ( x
j, 
Хл)
— решение уравнения (3). Тогда
2
z Xlxt г ХгЖз 
z%lXt -{- 2 ) A ikz x , - ( - 5 = 0
«.*=i 
‘ *
и, следовательно, для того чтобы (3) было эллиптическим 
уравнением, достаточно потребовать выполнения неравенства
А п Ап —  Л?, — £ > 0
при всех (лг,.*^) ^ 2 и любых конечных значениях 
z, p v pt.
Можно доказать, что это условие и необходимо для эллип­
тичности уравнения (3).
Легко видеть, что квадратичная форма

---

всюду сохраняет знак, если оператор Ф (г) эллиптичен на 
функции 
z$.
Это приводит к тому, что есть функции го, для 
которых квадратичная форма (4) положительно определенная 
в 2 , есть функции, на которых эта форма отрицательно оп­
ределенная, и, наконец, есть функции, на которых она знако­
переменная.
Разберем это на примере простейшего уравнения Монжа —
Ампера: 
_
Zxixt **»x, — Zxtx%
 = v { x »
**)> 
(5)
где <р(*
1
, 
— непрерывная функция в области 2 . Для опе­
ратора
Ф (
2
) =
z
x,*1
ZXiXl
—
^XiXa 
f Vx l> XV
форма 
T
(Ф, 
z
) имеет вид
T
(Ф, 
z) = z xix.£\
—
4 " 
2*tXi4'
Очевидно, что на функциях 
z = ^ ( х * х \ ) Т (Ф, z )
— поло-
жительно определенная форма, на функциях 
z
=
(-^> I -''а)
__отрицательно определенная 
и, 
наконец, 
на 
функциях
2 = ^ { х \
— *$) — зна копеременная.
Условием эллиптичности уравнения (5) является неравен­
ство
<р(*1. * 9 ) > 0 .
Таким образом, решениями эллиптического уравнения (5) бу­
дут необходимо выпуклые функции. Действительно, если 
и (jci, 
— решение уравнения (5), то всюду в области 2
и
~
= 'Р t o * * > > 0 и* следовательно, 
Т
(Ф, и) 
всюду в 2 — определенная форма, сохраняющая один и тот 
же знак.
Наряду с решением 
ч ( х х,
х*) уравнения (5), решением 
этого ж е уравнения является функция 
v ( x v
х * ) =
и, по­
этому у уравнения (5) есть два класса решений: у одного 
из них форма Г(Ф, 
и)
положительно определенная на любом 
решении, у другого та же форма отрицательна на любом реш е­
нии. Это обстоятельство имеет простой геометрический смысл: 
решениями из первого класса являются выпуклые функции, 
обращенные выпуклостью вниз, а решениями второго класса — 
выпуклые функции, обращенные выпуклостью вверх.

---

Точно так же любое эллиптическое уравнение М онжа__
Ампера (3) имеет два класса решений. На решениях одного 
класса форма ^(Ф , 
г )
положительно определенная, а на ре­
шениях другого класса — отрицательно определенная.
в) 
Аналогом простейшего уравнения Монжа — Ампера для 
функций от 
т
переменных является уравнение
z x tx t
ZXlX3
• • •
z * l* m
* 
m
ZX2Xt
z XsXa
• 
• • 
z x 2x m
Z x m x i
z x x a
tn *
• • •
Z x mx m