И здан и е второе, стереотипное

(
22
)
линейных уравнений с постоянными коэффициентами, если- 
функция 
Л (s) = max ReA, (s)(X ,(s) — характеристические

---

корни матрицы ||Pyft( s ) / / | ) удовлетворяет следующим ус­
ловиям:
1) Л ( s ) ^ a |s | - |-
b,
a, £ = const;
2) при вещественных 
s — a
Л (s)sgc, 
с —
const.
Для таких систем задача Коши с данными при < = 0 кор­
ректна в том же смысле, в каком корректна гиперболическая по 
И. Г. Петровскому система (19) (см. конец п. 9). Здесь не 
обязательно, чтобы 
t
было мало.
Если ограничиться системами вида (22), то ограничения 
на систему, описанные в настоящем пункте, не только доста­
точны для корректности задачи Коши (в смысле, описанном 
в п. 9), но и необходимы.

---

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ОБЩ ИХ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В. Г. МАЗЬЯ
1. 
О б о б щ е н н ы е ф у н к ц и и . Предметом теории диф­
ференциальных уравнений до последнего времени были опе­
раторы трех типов — эллиптического, параболического и гипер­
болического. Типичными и простейшими 
представителями 
этих классов являются, соответственно, операторы Лапласа, 
теплопроводности и волновой, о которых подробно говори­
лось в настоящем курсе. Изучение этих операторов и их 
обобщений, начатое еще в начале прошлого века, породило 
огромную литературу, позволило накопить и проанализиро­
вать большое число интереснейших фактов и связей, стиму­
лировало развитие теории функций, функционального анализа 
и других областей математики.
Вместе с тем еще около двух десятилетий назад почти 
ничего не было известно об уравнениях и системах, не при­
надлежащих к трем классическим типам.
З а этот короткий срок в указанном направлении был 
получен ряд глубоких результатов, позволяющих сегодня 
говорить о теории общих дифференциальных операторов. 
Краткому и по необходимости неполному изложению некото­
рых аспектов этой теории и посвящен настоящий очерк.
Исследование общих дифференциальных операторов стало 
возможным в первую очередь благодаря созданию теории 
обобщенных функций.
Обобщенные функции в нестрогой форме впервые появи­
лись в физике. Например, представление о точечном элек­
трическом заряде приводит к интуитивному определению так

---

называемой дельта-функции, т. е. функции, равной нулю 
всюду, кроме одной точки, где она равна бесконечности, и 
обладающей интегралом, равным единице. Понятие диполя 
заставляет ввести производные 8-функции.
Эти и другие «странные» объекты возникали и в мате­
матических вопросах, например в теории гиперболических 
уравнений. Все это указывало на недостаточность классиче­
ского понятия функции.
Впервые обобщенные функции были введены в матема­
тику и использованы С. Л. Соболевым в 1936 г. |11] при 
изучении задачи Коши для линейных гиперболических урав­
нений. Теория обобщенных функций в ее современном виде 
оформилась в монографии 
Л.
Шварца [24] и получила даль­
нейшее развитие в серии монографий И. М. Гельфанда и 
других авторов *).
Что же представляют собой обобщенные функции с точки 
зрения математика? Если говорить о 8-функции как таковой, 
то математический анализ уже давно был в состоянии дать 
для нее корректное определение. В самом деле, здесь речь 
идет всего лишь о конечной мере, сосредоточенной в точке. 
О днако уже для производных 8-функции теория меры ока­
зывается «прокрустовым ложем».
Возвращаясь к 8-функции, вспомним, что всякую меру 
можно отождествить с линейным непрерывным функционалом 
на пространстве непрерывных функций, и заметим, что такой 
функционал для 8-функции действует по формуле