И здан и е второе, стереотипное

r
>
верен принцип максимума:
max | и (jc)| = max {m ax | и (jc)|» max |н 
(
jet
)
|} =
* € г 
x €sft
—
max {m ax | 
x ) |, max | и (дг) }.
Устремим R - >  о о . Э то приведет нас к соотнош ен ию
max | if ( х ) = max { max | cp (x ) , 0 } = max | 
x ) |.
x с г 
x t r
Дальнейшее — как в случае внутренней задачи.
Если т —  2 и область 2 бесконечная, т о внеш нюю задачу 
Дирихле можно свести к внутренней, если кон ф орм но о т о б ­
разить 2 на конечную область, и таким путем доказать к о р ­
ректность внешней задачи Дирихле.
§ 4. Внешняя задача Неймана
П усть бесконечная область 2 ограничена регулярной п о­
верхностью Г. Примем, что размерность пространства т~^>2. 
Если функция ij>(je) непрерывна на Г, т о внешняя задача

---

5 1 2
О КОРРЕКТНОСТИ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
[Гл. 28 
Неймана
с непрерывной пл отностью
Эта плотность у довл етво­
ряет интегральному уравнению (§ 8 гл. 18)
Как бы л о выяснено в гл. 18, э т о уравнение имеет одн о 
и тол ьк о од н о непреры вное на Г решение, коль ск о р о на Г
непрерывна функция ф(дг). Э то решение мож но представить 
в виде
гд е Q — оп ер а тор , обратный оператору в левой части урав­
нения (3). Из сказанн ого выше следует, что оператор Q дей­
ствует в пр остр ан стве С (Г ) функций, непрерывных на Г , и 
определен на всем этом пространстве. Докажем, что опера­
т о р Q ограничен в С (Г ).
Д опустим противное. Тогда сущ ествует последовательность 
функций фя ^ С ( Г ) таких, что
Т огда {л.* = Q4>^, ||(х*|=1, ||ф*!-*0. П ервое равенство озна­
чает, что {J.* удовл етворяет уравнению
■ « ( * ) = U
(
6
)
7 5
! = ^ ( Г )
(
2
)
(