И здан и е второе, стереотипное

___ 
2<р0 (дг) cos 
п%х
ЛЯ
I
= 7SF j
=
1 
I
— л3» ? ^ 9о ( л ) sin т х d x =  —
| <ро (х) sin т х d x =
1
___2
nnx
|» 
2
f
,
— '-------
n w
---------|o ~
J ? ° (Jf) c o s яяаг Л г =
о
I
— —
J

( x ) c o s
m x dx.
0
Т о ч н о так же
i
£Л== — _ _ | 
(д:) slnnitxdx.
Обозначим
i 
I
“ л == — ^8 | To" ( * )
COS 
лтсд: rfjf, 
P„ = — 1  ^ срГ(^) sin m x dx. 
Т огда
a —
h __
n 
n *’ 
n ~ n‘
'
Величины 
оя 
и 
рл су ть 
коэффициенты 
Ф урье 
функций 
■j/2 
. 
1^2 
„
принадлежащих п р остр а н ству
00
со
Z.a (0 , 1). 
О тсю да
следует, 
что ряды ^ a*, 
сходятся. 
Ф орм ула (4 ) принимает вид
ОО
и (х ,
/ ) = У J_ (an cos nnt - j - р„ sin nut) sin лтсx . 
(6 )

---

Мажорантами для ряда (6 ) и для рядов е го первых и вторы х 
производны х служат ряды
СО 
СО 
СО
l « J + lf>n l 
^
K I + I M
K I + IP«L
1?
• 
0 L  
^
' 
L
п
п — 1 
п = \
с ,
С " = const,
котор ы е все сходятся. Отсю да следует, что сумма ряда (4 ) —
функция и (х , () — непрерывна вместе с о своими первыми и 
вторыми производными, что и тр ебова л ось доказать.

---

Г л 
А В А 23 
ЗАДАЧА КОШИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
§ 1. Некоторые свой ства преобразования Фурье
В этом параграфе б у д у т изложены простейш ие свойства 
м н огом ерного преобразования Фурье. Понятие о б одномерном 
преобразовании Ф урье и е го основные свойства предполагаются 
известными.
Будем рассматривать функцию и £ L ( Ет ), так что 
J | и (дг) | dx <| оо.
П реобразование Ф урье этой функции определим ф ормулой
т
(Fu) (х ) = и
( х )  =
( 2 т с ) ~
1
$ <Г •
’ <■*■ у\, (j,) dy. 
(1 )
Ет
З д есь через (х , у )  обозначен о скалярное произведение в про­
странстве Ет
(x>y) = x „ y k.
Функция и определена и непрерывна 
в 
каждой 
точке 
х ^ Е т
в сил у а бсол ю тн ой и равномерной сходи м ости интег­
рала (1).
Кратное п реобразовани е Фурье мож но получить, приме­
няя посл едовател ьно одн ом ерное преобразование Фурье: если

---

п остр ои ть последовательно функции 
_ 2 + °®
«1 (* i, 
х т)
= (2и) 
2 ^ и (xL, х г, 
x m_ i ,y m) е ~ 1хтут dym,
— СО
* s, • ••» Хт) ”
I +00
= (2it) 
7
^ u , (Jf„ 
........y m_t, 
X m )
e - ixm-iym-idym_ t
=
— 00
= (27с)-‘ J 
5 
U
(* i, 
x s
.......
y m~ i. У т ) e ~ ‘
+
Х'пУт)4 У т -1 (1У т ’
\
- f 00
um (*1* **-2> 
» *^m) “
^ 
(-У*»
—
00
m
-f- со -f* со
= (2it) 
2 ^ . . . ^ 
.......
.y m) e - i(xty i+ x *yi+ - + x mym)dyldyi...dym,
(
2
)
то, очевидно, um (j^ , x v . . . , x m) = « ( * ) .
Т е о р е м а 23.1.1 Если k — натуральное число и произ­
ведение
(1 - j - | х  f') и (jc) суммируемо в Е т, то преобразование 
Фурье функции и
(jc) имеет непрерывные производные по­
рядка, не превосходящего k, всю ду в Е т.
Так как |
н ( х ) | < ( 1 - f
\х
|Л) | н (a:) j, т о функция a £ L ( E m) 
и преобразованная функция и ( х )  су щ ествует и непрерывна 
в Ет.
Ф ормально продифференцируем интеграл (1 ) 1Х раз по Х\.
1т
раз по х т ; пусть
1\
~Ь 4 Ч- • • • Н~ Ап — I ^ Ь.
Э то приведет нас к интегралу
т р
( — 1)1(2к) 2 \ у ^ у 1
2к . . у гп и ( у ) е - « х'УЫу,
котор ы й сходится абсолютно и равномерно, так как 
\ у № - - - У 1
г ? \ ^ \ У 1 ‘>

---

474 
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (Гл. 23 
и, следовательно, при достаточно больш их \у.\
I * «*• % ' * j . . у ^ и ( у )  | 
\у
|' I и (у) |
^ (1 + |
у  |*) I и (у) \.
Мажоранта не зависит о т л и суммируема, п оэтом у диф­
ференцирование под знаком интеграла законно
и производны е порядка, не превосходящ его k, непрерывны.
Т е о р е м а
23.1.2 
Пуст ь функция
и(лт) 
непрерывно
дифференцируема k раз в любой точке х
(= Ет. Пусть, 
далее, сама функция и (х ) и все ее производные порядка,
не превосходящего k, суммируемы в Ет и обращаются
в нуль на бесконечности. Тогда при достаточно больших
значениях \ х \
Рассмотрим н е к о т о р у ю точку х  £ Е т и обозначим через 
j
номер ее координаты , наибольшей по модулю . Интеграл (1) 
возьмем k раз по частям по переменной у j. П ри этом вне- 
интегральные члены обратятся в нуль, и мы получим
д1й
т
ду{1ду!?... ду‘™
—
( — 0 * (2 * ) 
2 
у [ ' у 1
2к . . у 1” е -
* I*. У)и ( у ) dy,
(
3
)
И ( * ) = ( / ? „ ) ( * ) = 0 ( 1 * Г * ).
_ т 
.
и (х )
= ( 2 « )
> {lx j)-k
\ f j y)dy.
4 , y j
Оценим и (х) но модулю
и окончательно

---

где м ож но, например, положить
- £
- С X )  I 
дки (у)
I 
.
с = ( з . )
3
$ l \
w
w
^
\
dy'
т
суммирование распространено на все наборы неотрицательных 
индексов kit ki t . . . , km таких, что 
- f - kt - f - . . . -} - km = k.
При н ек отор ы х условиях, наложенных на функцию и (х ), 
справедлива формула обращения преобразования Фурье
т
и ( * ) = ( 2 * Г 2
Функция к, в ообщ е говоря, не суммируема в Е т, п оэтом у
н еобходи м о каждый раз указывать, в каком смысле следует 
понимать интеграл (4). Разумеется, если и суммируема в Е т, 
т о э т о т интеграл мож но понимать в обы чном смысле. Спра­
ведлива, например, следующая теорема.
Т е о р е м а 23.1.3. Пусть функция и (jc) отлична от нуля 
только в некоторой конечной области и имеет во всем
пространстве 
непрерывные 
первые 
производные. 
Тогда
справедлива формула обращения
(4), в которой интеграл 
понимается в следующем смысле:
^ и (у)
е,(* ’ ^ d y—
т 
Nm ( 
Nt I 
N, 
\
= lim 
f | ...lim
f 
| lim 
f « (y) eUi!/ld y \ x
_ X r J
J
X 
е ХгНйу
г . . . | 
е * тУтйут.
 
(5)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Конечную обл асть, в к о т о р о й ф ун к­
ция и (х ) отлична о т нуля, мож но пом естить внутри н е к о т о ­
р о г о куба. П усть э т о будет к у б
— а ^ х к ^ а ,
k — \, 2 , . . . , т.
Очевидно, функция м(лг) суммируема по х т при ф и к си ро­
ванных значениях остальных аргум ен тов и в каждой то ч к е
пространства имеет производную п о х т; применив теор ем у
J и (_у) e l 
^ d y.
(4 )

---

обращения 
од н окр а тн ого интеграла 
Ф урье к функции 
(ф орм ула (2 )), получим
_± 
Nn
и ( х ) =  lim (2тг) 
2 С Щ(Х!, 
. . . , x m_v y m) e Xm-Vmdym.
N^-+
cq
J
m
Имеем, далее, -
+oo
J I ui 
x
t, . . . , x m_i, x m) | d x m_ j =
— OO
+ «
_ _i_ -h00
= \ ( 2tc) 
2 I J « (Jfi. X » . . . , x m „ y m) e ~ iXmymd ym I d x m
<
— CO 
—
CO
H-оо
< (2it) 
2 J 
J | и ( * „ Jfj , . . . , x m_v y m) I d x m^ d y m =
—00 —oo
I 
a a
=
( 2 * )
2 
\ \
|k 
(
x v
 
x p
. . . , x m_ v y m) | d x m_ld ym 
<
;
- a -a
через M  обозначена верхняя граница значений функции и. 
Таким образом , функция щ (дг1( *
2, . . x m_lt х т ) суммируема 
n o x m^t при в сех значениях остальных аргументов.
Д окаж ем теперь, что производная 
сущ ествует в лю­
бой точке. П редставим нг в виде
W1 ( • * !’ 
x i
..........
х т-
1> 
Х т) —
__I а
—
( 2 « )
2 jj и (x v х » . . . , Хт_ „ у т) е~ '*т l’m dym.
—а
Справа — интеграл о т непрерывно дифференцируемой функ­
ции, распространенны й по конечному 
промежутку. 
Такой 
интеграл имеет непрерывные производные по всем аргументам, 
о т к о т о р ы х он зависит, в частности по jcm_1.
Та ж е теор ем а обращения од н окр а тн ого интеграла Ф урье 
да ет теперь
(-**1* *2» • • Х т_р X т ) =

---

П родолж ая 
этот процесс, 
мы 
в конечном счете 
придем 
к ф ормуле ( 5 ) ') .
§ 2. В ы в о д ф орм улы П у а с с о н а
Рассмотрим одн ородное уравнение теплопроводн ости
— — Дн = 0 
(1 )
О С
при краевом условии
и [ / _ о — ?(■*)• 
( 2)
Будем предполагать, что все выполняемые ниже действия 
законны, 
и в этом предположении выведем ф ор м ул у для 
решения задачи Коши (1 ) — (2).
О б е части 
уравнения 
(1 ) 
подвергнем 
преобразован и ю
Ф урье по дг
(2TC) - ? J
» d y -
til
m 
m
- ( 2 k ) ' 
2
J
у
e - f * ’ M y
= 0. 
( 3 )
m
И нтегрирование по у  и дифференцирование n o t независимы, 
п оэтом у вынесем в первом слагаемом диф ф еренцирование
*) Б о л е е общ ая теор ем а доказан а в книге (9 ); там ж е п р и в ед ен ы
и д р у г и е теор ем ы , утв ер ж д а ю щ и е в разн ы х у с л о в и я х сп р а в е д л и ­
в о ст ь ф ор м у л ы обращ ения (4).

---

по t за знак интеграла. В результате получим
(2 я ) 
2