И здан и е второе, стереотипное

v (х, t) = v ( t ) ( ^ C
([
0
, о о ), Hsu).
б ) Ряд, полученный дифференцированием ряда (4 .1 3 ) п о t
I 
/ К
(?о> 
ня) s' n 
V ^ n
1
4
“ 
ця) 
co s 
V K 1
1 
ип( х ) —
л — J
= 2 { - [?«• 
sin 
V
k
t
+
“ » ) cos 
V
k
 
1 } " »
n
= 1 I
сходи тся равномерно no t в м етрике La (
2
)- 
Д оста точ н о написать неравенство
{ — [ *
sin 
(
«л ) co s V K * } ^
^2[?о’wr+2(?i’
Ия)а’
а затем, как и в п. а), сосл аться на неравенство Бесселя 
и теорем у Вейерштрасса.

---

Из доказан ного в пп. а) и б ) вытекает, что 
v (х , t) = v
(t) £ С (1> ([0, о о); Ц  2)),
и, следовательно,
в) 
Сумма ряда (4 .1 3 ) удовлетворяет начальным условиям 
(4 .1 1 ). Д ействительно, в силу доказанного в и. а) в ряде (I ) 
м ож н о почленно перейти к пределу (в метрике Н%) при 
*->■0. О тсю да
I
OO 
|
я = 1 
' 
I
Д алее по доказанному в п. б ) сумма ряда (3 ) равна ~tvJ 'P  ,
и в эт о м ряду также мож но почленно переходить к пределу 
при 
^ - > 0
litn 
t
- о
dv
(О
- at ' 
4,1
ОО
2
( T i - цп )« « — ? i
Я =
1
=
0
.
г ) Сумма ряда (4 .1 3 ) удовл етворяет тож деству
— \ 
dtJr
\ [ « (
0
. 4 (0 1 d t —  (? !, к)(
0
)) == 
0
,
о 
о
V 1] €zKr> 
(4 )
к о т о р о е получается из тож дества (4.1) при / = 0.
Обозначим для краткости через i n(t) коэффициенты ряда
(4 .1 3 )
Т
п ( 0 = (<р0. и„) o o s V K t + ~ y i ‘f
sin
V K t.
Т огда
CO
« ( . * , o = w ( o = 2 t»< ( 0
uif
n= 
1
К оэф ф ициенты ? „ ( 0 удовл етвор яю т дифференциальному урав­
нению (4.7), в к о т о р о м следует положить f n(t) =  0:
(
5
)

---

Имеем
О 
л = 1 II
П очленное интегрирование доп устим о, потом у что ряд (3 ) 
сходи тся равномерно по 
t.
Интегрируя по частям, получаем 
г
г
— § Т« ( 0 («п> 
d t = = \ l n
0 9 («п . -л ( 0
) dt —
- т ; ( 0 ( и п^ ( 0 ) 1 ^ о г =
т
= \ Тп ( 0 (Мя. >1 ( 0 ) dt + (
“ л) («Я» Ч (° ))-
t)
О тсю да
о
= И 5 т П 0 ( « я ' Ч ( 0 ) dt - f 2 (?i> “ « ) ( “ *> ^ (° ))-
п—! 0 
/I — !
Н о по равенству Парсеваля
СО
2 (?!• «л) ( “ «> '*1 (0 )) = (?Р Ч (0)), 
п= I
и, следовательно, 
г
§ ( т
• ^ г - ) л := 2
т:; (0 (Ип’ 71 (0) d t+ (?i,yi (0))- (6)
о 
п = I
Далее
Т 
со 
Г
« = 1 о
$ ( « ( 0 , >1 ( 0 ]
dt
= 2 .
\
т« ( 0 [«»> Ч (01 
dt
=
оо Г
S
5 х л ( 0 ( » л > 4 ( 0 ) ^ - ( 7 )
п=
1 О
Если теперь сложить равенства (6 ) и (7 ) и в осп ол ьзов а ться
уравнением (5), то получится т о ж д е ст в о (4).

---

§ 6. О босн ован и е м етода
д л я о д н о р о д н ы х н а ч а л ь н ы х у сл ови й
Д окаж ем теперь, что сумма ряда (4 .1 4 ) есть обобщ ен н ое 
реш ение задачи (4.12). С этой целью докажем, что для ряда
(4 .1 4 ) справедливы в се утверждения а ) — г) преды дущ его 
параграфа, с той, однако, разнйцей, что равномерная сходи ­
м о сть имеет м есто не на всей оси i, а тол ько на любом 
сегм енте вида [0, t], t = con st ^ > 0 .
Д оказател ьство утверждения а) сводится к п р о в е р к е того, 
что ряд
со п  
р
S J j sin V K (t -  t ) A W dz\ 
( l )
сх о д и тся равномерно на сегменте [0, J1]. П о неравенству 
Б ун як овского
В силу равенства Парсеваля
2 / ^ ) = t m
n a. 
(3 )
л = 1
Ряд (3 ) с непрерывными неотрицательными членами с х о ­
дится к 
непрерывной функции. П о теорем е Дини ряд (3 ) 
сх од и тся равномерно. Н о тогда и проинтегрированный ряд 
сх од и тся равномерно. И з неравенства (2 ) следует теперь, что 
ряд (1 ) такж е сходи тся равномерно.
Из доказанного сл едует, что ряд (4 .1 4 ) равномерно на
сегм енте [0, 
t]
сходи тся в метрике 1 а (2 ), а также, что 
w ( x ,
0 ) = 0.
Перейдем к утверж дению б). Формально продифференци­
ровав ряд (4 .1 4 ) по t, получим новый! ряд
со 
t
c o s У К Ч - г ) Ш ( 1 ч .
л=| 
о
М ы докаж ем равном ерную сходим ость э т о г о ряда в метрике

---

Z.Q (2 ) , если установим, что ряд
ОЭ 
/ /
п =
н о
сходится равномерно на сегменте [0, 
t\
К о э т о доказывается 
так же, как в п. а). Теперь ясно, что
С »
/