И здан и е второе, стереотипное

§
6
. О бобщ енное решение задачи Коши
П ост а н овк а задачи 
Коши для в о л н о в о г о урав нен ия, 
данная 
в § 3, предполагает, ч то искомая ф ун к ц и я о б л а д а е т п о кра йн ей м е р е
теми производн ым и, к о т о р ы е вхо дя т в д и ф ф ер ен ци а л ь н ое у р а в н е н и е . 
При изиестных ус л ови ях э т о на с а м о м д ел е так. С ' Л. С о б о л е в

---

показал, что ре ш е н и е зад ачи К ош и для о д н о р о д н о г о в о л н о в о г о у р а в ­
нения имеет н е п р е р ы в н ы е в т о р ы е пр ои зводн ы е, если 
начальная 
ф ун к ция ? , , ( * )
и м еет 
н еп рер ывн ые 
п р о и з в о д н ы е
п оря дк а
д о
а ФУНКЦИЯ «Pi W
— ДО порядка [ у ] + 2- 
Если 
т
^ 5 , то
указа н н ые числа не м о г у т б ы т ь , в о о б щ е г о в о р я , ум ен ь ш ен ы ; при 
т =
1, 2, 3 о т н ачальн ых функций м ож но п о т р е б о в а т ь м е н ь ш е г о
числа пр ои зводн ы х. Так, н етр у дн о пр ов ери ть , что ф у н к ц и я 1)
и (х, t)
— - у [<р0 
(х
+ 0 - 1 -
9о (х -
р е ш а е т за дачу К о ш и для уравнения стр уны
д2и
__ дги
Ш* 
дл
-01
= 
0
п ри начальных у с л о в и я х
« I/—о = <Ро (*).
ди
dt t-
о
-
0
.
(
1
)
(
2
)
(
3
)
Я сн о , ч то р е ш е н и е
и (х , ()
в этом сл уча е имеет в т о р ы е п р о и з в о д ­
ны е, если с у щ е с т в у е т в т о р а я производная 
(л*). О д н а к о из физи ­
ч е с к и х с о о б р а ж е н и й т р е б о в а н и е , чтобы втор ая пр ои зво дн ая
у"
(
х
) 
с у щ е с т в о в а л а , не вы те к ает. В самом деле, ус л ови я (3) оз н ач а ют.
Рис. 44.
ч т о в начальный мом ен т с т р у н у вывели из со стоя н и я ра вн овесия , 
с о о б щ и в ей на ча ль ное от к л о н е н и е ip0 
(х)
и не с о о б щ и в ей начальной 
с к о р о с т и . Г ра фи к ур ав нен ия
a = < f 0 (x)
дает ф о р м у ст р у н ы в началь­
ный м омен т врем ен и.
Д о п у с т и м , ч то г р аф и к функции <р0 
(х)
есть ломаная рис. 43. 
У э т о й фун к ции в т р е х т о ч к а х
х —
— 1, 0, 1 нет даж е п е р в ы х п р ои з­
вод н ы х , те м не м ен ее задача о колебаниях струн ы с такой началь­
н о й ф о р м о й в п ол н е о с м ы с л е н а , , и р еш ен и е э той задачи да ется той ж е 
ф о р м у л о й ( I ) : ф о р м а с т р у н ы в моменты време ни , не сли ш к ом близ­
к и е к н а ча ль н ом у, по каза на на рис. 44. Ясно, ч т о функция (1) не 
и м е е т не т о л ь к о в т о р ы х , н о и перв ых п р о и з в о д н ы х при значениях 
п е р е м е н н ы х , свя з ан н ы х со о т н о ш е н и я м и
х ±. t
= — 1, 0, 1.
' ) П о д р о б н е е о б э т о м см. ниже, § 7 гл. 24.

---

Во зни кает Н е о б х о д и м о с т ь ввес ти в р а с с м о т р е н и е о б о б щ е н н ы е
р е ш е н и я задачи Кош и; с т а к о го рода о б о б щ е н и я м и мы у ж е не раз 
в с т р е ч а л и с ь на протяжен ии н а стоя щ ей книги. М ы введем сперва 
о п р е д е л е н и е
обобщенного решения дифференциального уравнения.
П у с т ь
L
— линейное ди ф ференци аль ное в ы р а ж е н и е , скажем, 
в т о р о г о порядка, а 
М
— ди ффер ен ци аль ное в ы р а ж е н и е , ф орм альн о 
с о п р я ж е н н о е с 
L.
П у с т ь функция 
й
£ С (8|( 2 ) у д о в л е т в о р я е т в к о н е ч н о й об ласти 2 
ур ав нен и ю
з д е с ь ч ер ез 
х
обоз начен а с о в о к у п н о с т ь в сех н е з а в и с и м ы х п ерем ен ­
ных. П у с т ь , далее, функция Ф (
х )
£ ® lISl (fi) ( § 1 гл. 2). Применим 
к фун кция м 
и (х)
и Ф 
(х)
ф о р м у л у Грина ( ф о р м у л а (6.4) гл. 10). 
При э т о м интеграл по п о в е р х н о сти исчезнет, п о т о м у ч то на рранице 
о б л а с т и £2 функция Ф и ее п р ои з вод н ы е равны н ул ю , и мы п р и х о ­
дим к со о т н о ш е н и ю
Н е т р у д н о доказать, что фун кци я м £ С (,) (£2)> у д о в л е т в о р я ю щ а я
с о о т н о ш е н и ю (5), у д овл етвор я ет т а к ж е и у р ав н е н и ю (4).
В ве дем сл е д у ю щ е е опред ел ени е: 
функция и
(л:), 
суммируемая 
е й
и удовлетворяющая соотношению
(5), 
называется обобщенным 
решением уравнения
(4).
Н е т р у д н о убед и ть ся , что введен н ы е ран ь ш е в э т о й кн иге п о­
нятия о б о б щ е н н ы х решений различных задач н аходя тся в со гл ас ии
с т о л ь к о что данным опр еделением. В с о о т в е т с т в и и с этим о п р е д е ­
лением б у д е м называть фун кцию
и (х, t)
о б о б щ е н н ы м ре ш ен ием 
в о л н о в о г о уравнения
в п о л у п р о с т р а н с т в е < > 0 , если в л ю б о й к о н еч н ой о б л а с т и
D
изм е­
нения переменных 
х и х г
.........
х т, t
эта ф ун к ция с у м м и р у е м а и
у д о в л е т в о р я е т со о т н о ш е н и ю
Т е п е р ь введем понятие о б о б щ е н н о г о р е ш е н и я зада чи К ош и. 
П у сть ур ав не нию (6) с о п у т с т в у ю т на ча ль ные у с л о в и я
Ф ун к ц и ю
и (х, t)
назовем о б о б щ е н н ы м р е ш е н и е м зад ачи К о ш и
(6), (8), если эта функция: 1) я вл яет ся о б о б щ е н н ы м р е ш е н и е м у р а в ­
нения (6); 2) сум м ируе ма с квадра том и и мее т с у м м и р у е м ы е с квад­
ратом о б о б щ е н н ы е перв ые п р о и з в о д н ы е в л ю б о й к о н е ч н о й о б л а сти
изменения переменных 
х и х г,
. . . , л от, 
t;
3) 
в 
л ю б о й
к о н е ч н о й
L u — f
(лг);
( 4 )
J 
иМФ dx = \ /Ф dx,
V ф € ЭД121 (2)-
( 5 )