|
t0).
Р азность
w (лг, t) решений двух задач Кош и, о котор ы х
сказано в условии теоремы, удовл етворяет о д н ор од н ом у вол
н ов ом у уравнению
$
- t o
=
0
( I )
и начальным условиям вида
w \t-a = 0’
S L = ° *
(
2
)
( лг—
•
dw I
Значения w
и
вне
шара
|лг — JCe |e = s;/o Ддя
нас безразличны.
Рассм отрим область D
простран
ства ( x v х г........... х т, t), ограничен
ную п л оск ость ю t =
0
и характеристи
ческим
кон усом
t„
— t = | х — х 0 j
(рис. 39). Внутри или на границе этой
обл асти
возьмем
произвольную точку (я , t) и построим новый характеристи
ческий кон ус t — t = \x — x\. Через D обозначим обл а сть,
ограниченную п л оск остью £ = 0 и новым к он у сом . В аж но
отметить, что область D ограничена в п л оскости t = О ша
ром |jf — х * ^ ~t\ которы й составляет часть первоначально
го шара | х — х
0 1
* ^ <о! отсю да следует, что в новом ш аре
верны соотнош ения (
2
).
дно
О б е части уравнения (1 ) умножим на ^ и проин тегри
руем п о области D. Приняв в о внимание очевидны е т о ж
дества
dw
д
2
а>
__
1
_ д /
dw\*
Tt W ~ ~ ~ 2 ' & [ & ) •
dw dsw __ d (dw d w\ ___
1
_ _£ fdw
\9
~dtdx%
~дХк\М dXk)
2
‘ dt \dxk)
и применив ф орм ул у О стр огра д ского, получим
\ w
{ w
- ^ w ) d x d t = :
ш ц к
IL
COS ( Я,
f) ■
m
v
-
2 2
ъ $r
k cos (w> * 4 d S =
°-
<3)
j
З д есь через Ш обозначен шар ) ле —
через К — ха
рактеристический к он у с ~t — t — \x — jc j, через d S — элемент
меры на границе UJ \] К области Ъ. В силу условий (
2
)
в ш аре Ш выполнены тож дества - ^ =
0
и и» = 0. Диффе
ренцируя последнее тож дество по координате х& получим
dw
такж е
— 0, k = l , 2
т.
В среднем члене двойного
равенства (3 ) интеграл по LU исчезает, и мы получаем более
п р о с т о е равенство
к
т
(dw\*
,
v ( dw\^
\dt)
+ Z (d ^ J
co s (n, t) —
dw dw
dt dxk
cos (я, x k) \ d S = 0 .
Умножим о б е части
последнего равенства
на
постоянную
= co s (я, t), к о т о р у ю внесем под знак интеграла. Учиты-
V
2
вая равенство (3.6), получим
т
jj 2 [ э 7 cos
■**)—
w k
cos
(п>
*)]" d s — °*
о тк у д а следует, что на кон усе К
dw
/
ч
dw
и, следовательно,
dw
,
ч
дт
,
•.
dw
,
л
cos (я,
= . . . =
: cos (п, х т) =
:
cos (п., t).
Эти равенства означают, что на кон усе К век тор grad w па
раллелен нормали.
На конусе К возьмем произвольную т о ч к у (лг, t) и п ро
ведем через нее образую щ ую I э т о г о кон уса. Очевидно, век
т ор grad а» ортогонален к /. В таком случае
^ = Пр, grad w =
0
.
О тсю д а следует, что w — con st вдоль л ю бой образую щ ей к о
нуса К. В частности, значение w в верш ине ( Д / ) совпадает
с значением w в той точке образую щ ей I, которая лежит
в плоскости t = 0. Н о в этой точке w = 0 по условиям (2).
О тсю да w ( x , t) = 0, и так как точка (Jf, ?) была взята произ
вол ьно в D, то w ( x , 0 = 0, (лг, () £ D. Т еор ем а доказана.
Заметим, что теорема 21.4.1 верна и тогда, когда дело
идет о двух волновых уравнениях вида (
1
), правые части к о
то р ы х совпадают в области D.
П усть и {х , t) — решение задачи Кош и для уравнения (1);
пусть правая часть f ( x , t) э т о г о уравнения фиксирована. Как
вытекает из теоремы настоящ его параграфа, значение ф унк
ции и в любой точке ( х 0, t0) определяется т о л ь к о значениями
начальных функций в шаре | х — х
0
^
Э т о т шар назы
вается областью зависимости для точки (jc0> ^о)-
Если вместо уравнения (1 ) рассматривать уравнение
~ —
а
3
Д к = / ( х , t),
т о
обл астью
зависимости
для
точки (jfa, *о)
бу д ет
шар
I JC —- Х 0 I
aU-
§ 5. Явление распространения волн
Из теоремы единственности, доказанной в предш ествую щ ем
параграфе, вытекают некоторы е следствия ф изи ческ ого ха
рактера, о котор ы х мы здесь к о р о т к о скаж ем.
Р ассм отрим од н ор од н ое волновое уравнение
~
— а*Ди = 0,
а =
const,
(О
при
начальных условиях
Д опустим , ч то начальные функции <р0( * ) и
ственно равны нулю вне некоторой конечной области D CZ Ет
(рис. 40); внутри этой о б
ласти
начальные
функции
равно нулю, как э т о видно из начальных условий; в э т о т момент
точка х 0 н аходится в состоянии покоя. Рассмотрим момент
времени
д оста точ н о близкий к начальному, именно, пусть
где S — кратчайш ее расстояние о т точки лг
0
д о границы о б
ласти D. О б л а сть зависимости для точки jc
0
в момент време
ни t„ — шар радиуса at0 с центром в лг
0
— не пересекается
с обл а ст ь ю D. В таком случае в области зависимости началь
ные функции равны нулю; по теореме предш ествую щ его па
раграфа и (лг0, t0) =
0
, и точка х
0
в момент времени t0 остает
ся в состоя н и и покоя д о тех пор, пока
П у ст ь теп ер ь
О бласть зависимости пересекается
с о б л а ст ь ю D (на рис. 41 эт о пересечение заштриховано),
в э т о й обл а сти начальные функции отличны о т тож дествен
н о г о нуля и, в о о б щ е говоря, и ( х 0, t0) j b
0
.
Возьмем
какую-нибудь
точ к у х 0 £ Е т,
лежащую
вне области D. В начальный
момент значение и в точке jc
0
предполагаются, в о о б щ е г о
воря, отличными
о т нуля.
Будем считать, что постав
ленная здесь задача Коши
имеет решение.
Рис. 40.
ь
Таким образом , момент времени t0 = — м ож но р ассм ат
ривать как момент, когда возмущ ение приходит в т о ч к у Jfo;
д о э т о г о момента указанная точка находится в состоян ии
п окоя, после — в состоянии возмущения.
Н етр удн о ответить и на такой в оп р ос: дай момент в р е
мени t$ каковы области покоя и возмущ ения в эт о т мем ент?
П усть
Г — граница области начального возмущения D.
Из каждой точки границы Г как из центра опишем сф е р у
Рис. 41.
Рис. 42.
радиуса а /0. Огибающая Г
,0
эти х сф ер (точнее, геом етр и че
ск о е м есто точек, которы е лежат вне D и находятся на р а с
стоянии at0 о т Г ) отделяет обл асть покоя о т области, точки
котор ой находятся, в ообщ е говор я, в состоянии возмущ ения
(рис. 42). П оверхность Г
,0
называется передним фронтом
волны.
Волной
называется процесс распространения возмущ ения.
Очевидно,
возмущение распространяется
с о
с к о р о с т ь ю а
в направлении нормали к Г.
З а м е ч а н и е . Если р а з м е р н о с т ь п р о с т р а н с т в а нече тна я, б о л ь
шая единицы, т о в о д н о р о д н о й с р е д е при н е к о т о р ы х у с л о в и я х
набл юд аетс я так называемый
задний фронт
вол ны: в о з м у щ е н и е
в каждой т оч к е и сч еза ет после н е к о т о р о г о мом ен та вр емени. М ы
в ер н ем с я к эт о м у в о п р о с у в гл. 24.
Do'stlaringiz bilan baham: |
