И здан и е второе, стереотипное

1
) принадлежит к ти пу (т, 
0
, 
1
) 
и, следовательно, является параболическим; в этом случае 
будем уравнение (
1
) называть уравнением теплопроводности.
В аж но отметить, что входящ ее в уравнение теп л оп р ов од ­
ности Дифференциальное выражение
(2)
— эл л и п ти ческ ое в переменных дгц x it . . . , х т.
В посл едую щ ем будем предполагать, что матрица коэф ф и­
циентов A Jk имеет положительные характеристические числа, 
т. е. ч т о эта матрица положительно определенная.

---

Найдем характеристики уравнения (1). Если u>(x, t) =  
=
c o n s t есть уравнение характеристической поверхности, т о
(см . §
2
гл. 
10
) функция ш удов л етв ор я ет уравнению
Н о раз матрица || 
полож ительно определенная, т о
н еобход и м о - Д =
0
, k — \, 
2
, . . . , т, функция ш зависит
ОХь
т о л ь к о о т t, и уравнение характеристической поверхн ости
принимает вид u> (*) = const. Е сли на некотором п ром еж утке 
» / ( / ) =
0
Г т о ш есть тождественная постоянная на этом п р о ­
меж утке и уравнение ш = co n st не определяет никакой п о ­
верхности. Если же « / ( 0 ^ 0 , т о в о к р естн ости л ю б о г о зна­
чения t, где « /(< ) ф 0 ,  можно уравнение u>(<) = con st реш ить 
относител ьн о t и мы получим
Таким образом, характеристики уравнения теплопро­
водности сут ь т-мерные плоскости, нормальные к оси t.
В последующ ем будем рассматривать уравнение т еп л о ­
проводности в следующих, б о л е е частных предполож ениях.
I. Эллиптическое дифференциальное выражение (2 ) имеет
вид
так ч то само уравнение теп л оп р оводн ости принимает ф ор м у
Иногда мы будем предполагать, ч т о / ( х , 0 = 0 и будем
рассматривать однородное уравнение теп л оп р оводн ости вида