И здан и е второе, стереотипное

симметричные
би л и ­
нейны е ф ункционалы , т. е. такие, д л я к о т о р ы х
Ф (и, 
v)
= Ф (т>, 
и).'
(3 )
П ростей ш и й
билинейный 
сим м етричны й ф у н кц и о н ал — э т о
с к а л я р н о е прои зведен и е (и, 
v)
эл ем ен т о в
и
и 
v.

---

Однородным квадратичным функционалом
или 
квадра­
тичной формой
н азы вается вы раж ение Ф (и, н), где Ф (if, 
v)
ес ть симм етричны й билинейны й ф ункционал. Д л я кратко сти
буд ем писать Ф (к ) в м ес то Ф 
(и, и).
В ы ведем п р о с т о е и важ н ое соотнош ение, к о т о р о м у уд о в­
л е т в о р я е т лю бая к вад р ати ч н ая форма. П усть Ф 
(гг,
г;) — били­
нейный ф ун к ц и о н ал , а у <*з, р4, 
— числа. П ри м ен яя п оследо­
ва те л ь н о ф орм улы ( 1) и ( 2 ), получим
Ф (а ,н , - f aр,г;, - | - р2т»2) ==
= « 1Р1Ф (« 1» » 1) + ®1?*ф ( « 1. ®а) + <чР1ф (н«> ^ 1) +
(«9.
В частности, если ф у н к ц и о н ал Ф симметричен, т о
Ф (ы -J- 
v, it
- j-
= Ф (н> и) -)- 2 Ф (и, 
- f - Ф (г», г»)
или
Ф 
(и
-}- * ) = ф (и) + 2Ф (гг, х>) —
{—
Ф (г»). 
(4 )
Э т о и есть и ск о м о е соотнош ение.
П р и м е р . Интеграл Дирихле
ф<") = 5 2
а *=1
— квадратичная 
форма, которая 
соответствует 
симметричному 
билинейному функционалу
т
♦ < « ■ • > = $ 2
2
* =
1
Квадратичным функционалом
будем н азы вать вы р а ж е н и е
F
(и ) = Ф (гг) — /