И здан и е второе, стереотипное

функция 
—
= Ф „' ( х , 
и(х),
и' (х )) 
на сегменте [а, Ь\ абсолютно непре­
рывна и имеет производную, суммируемую с квадратом-,
3) 
функция
н(лг) 
удовлетворяет следующим 
краевым
условиям:
<2Ф\ 
_
ди')
= ФИ'( а , и (а), и '(а )) = 0 ;
(
!д
Ф\ 
( 2 )
{ к ' ) х ~ ь = ф“< ь’ и №
« ' ( * ) ) = о.
Н е о б х о д и м о с т ь . П усть 
к £ D (g ra d F ). У сл о ви е 1) 
необходим о; это следует п р о ст о и з того, что 
D
(g ra d
F)
d
С Ю ( / 7) = С ( |) (а, 
b).
О брати м ся к условиям 2 ) и 3). К а к и 
в § 3 гл. 3, вариация ф у н к ц и о н ал а ( 1) р ав н а
bF(u, ц) =
= / Л ф (-’ и+ ^
Ч - < Н ( з Ь + я И * * -
а
а
П о -п р еж н ем у она буд ет ограниченны м ф у н к ц и о н ал о м о т
tj
, 
если таким ж е будет ф у н к ц и о н ал
(
3
)
а
П у с т ь
и
£ D ( g r a d F ) . Т о гд а ф у н кц и о н ал (3 ) о гр ан и ч ен и 
с у щ е с т в у е т такая ф ункция 
g ^ L t ( a , b ) ,
что 
ь 
ь
S f f F
^
М
d x = ^ g ( x ) T \ ( х ) dx,
\ Л £ c(l> [fl> 
b\.
(4 )
a 
a
В ведем функцию
x
О (
x ) —
—
\ g ( ( ) d t - \ - C ,
С
= c o n s t

---

В зя в и н те гр а л справа в (4 ) по частям, получим