И здан и е второе, стереотипное

P (D ),
обладающих тем свой­
ством, что любое решение уравнения (3) 
и
£ 0 е0*, если 
f
(У*>).
Такие дифференциальные выражения называются 
гипоэллиптическими.
Простейшим примером не эллиптиче­

---

ского, но гипоэллиптического дифференциального оператора 
является оператор теплопроводности.
Исчерпывающая характеристика гипоэллиптических опера­
торов была дана в 1955 г. Л. Хермандером [13] (см. также [12], 
[16]). Оказывается, для гипоэллиптичности оператора 
Р
необ­
ходимо и достаточно, чтобы для всех нулей многочлена Р (1) 
из того, что | 5
1
-*■
оо, следовало [ 
1
т £ | -> оо.
Если многочлен 
Р(Ь)
удовлетворяет этому условию, то 
существует положительная постоянная f такая, что для нулей 
Р
(£) выполнено неравенство
| I m ? | ^ s a | R e t | 1' — 
Ъ,
(5)
где 
а
0 и 
b
— константы. Минимальное значение 
7
назы­
вается 
показат елем гипоэллиптичности.
Всегда 
7
^
1
, при­
чем равенство 
7 = 1
эквивалентно эллиптичности оператора. 
Показатель гипоэллиптичности можно определить следующим 
равенством ([7]):
!g ra d P (£ )|
7 =
Ш
- - ' Р ©1
151-
»п 1«1
Гипоэллиптические операторы выделяются также по сле­
дующему признаку: фундаментальное решение оператора 
P (D )
бесконечно дифференцируемо всюду вне начала координат 
тогда и только 
тогда, 
когда 
Р
(
D
) — гипозллиптический