корни матрицы ||Pyft( s ) / / | ) удовлетворяет следующим ус
ловиям:
1) Л ( s ) ^ a |s | - |-
b,
a, £ = const;
2) при вещественных
s — a
Л (s)sgc,
с —
const.
Для таких систем задача Коши с данными при < = 0 кор
ректна в том же смысле, в каком корректна гиперболическая по
И. Г. Петровскому система (19) (см. конец п. 9).
Здесь не
обязательно, чтобы
t
было мало.
Если ограничиться системами вида (22), то ограничения
на систему, описанные в настоящем пункте, не только доста
точны для корректности задачи Коши (в смысле, описанном
в п. 9), но и необходимы.
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ОБЩ ИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ
В. Г. МАЗЬЯ
1.
О б о б щ е н н ы е ф у н к ц и и . Предметом теории диф
ференциальных уравнений до последнего времени были опе
раторы трех типов — эллиптического, параболического и гипер
болического. Типичными и простейшими
представителями
этих классов являются, соответственно, операторы Лапласа,
теплопроводности и волновой, о которых подробно говори
лось в настоящем курсе. Изучение
этих операторов и их
обобщений, начатое еще в начале прошлого века, породило
огромную литературу, позволило накопить и проанализиро
вать большое число интереснейших фактов и связей, стиму
лировало развитие теории функций,
функционального анализа
и других областей математики.
Вместе с тем еще около двух десятилетий назад почти
ничего не было известно об уравнениях и системах, не при
надлежащих к трем классическим типам.
З а этот короткий срок в указанном направлении был
получен ряд глубоких результатов, позволяющих сегодня
говорить о теории общих дифференциальных операторов.
Краткому и по необходимости неполному изложению некото
рых аспектов этой теории и посвящен настоящий очерк.
Исследование общих дифференциальных
операторов стало
возможным в первую очередь благодаря созданию теории
обобщенных функций.
Обобщенные функции в нестрогой форме впервые появи
лись в физике. Например, представление о точечном элек
трическом заряде приводит к интуитивному определению так
называемой дельта-функции, т. е. функции, равной нулю
всюду, кроме
одной точки, где она равна бесконечности, и
обладающей интегралом, равным единице. Понятие диполя
заставляет ввести производные 8-функции.
Эти и другие «странные» объекты возникали и в мате
матических вопросах, например в теории гиперболических
уравнений. Все это указывало на недостаточность классиче
ского понятия функции.
Впервые обобщенные функции были введены в матема
тику и использованы С. Л. Соболевым в 1936 г. |11] при
изучении задачи Коши для линейных гиперболических урав
нений. Теория обобщенных функций в ее
современном виде
оформилась в монографии
Л.
Шварца [24] и получила даль
нейшее развитие в серии монографий И. М. Гельфанда и
других авторов *).
Что же представляют собой обобщенные функции с точки
зрения математика? Если говорить о 8-функции как таковой,
то математический анализ уже давно был в состоянии дать
для нее корректное определение. В
самом деле, здесь речь
идет всего лишь о конечной мере, сосредоточенной в точке.
О днако уже для производных 8-функции теория меры ока
зывается «прокрустовым ложем».
Возвращаясь к 8-функции, вспомним, что всякую меру
можно отождествить с линейным непрерывным функционалом
на пространстве
непрерывных функций, и заметим, что такой
функционал для 8-функции действует по формуле
Do'stlaringiz bilan baham: