И здан и е второе, стереотипное

х , v
— единичный вектор нормали к 
Г в той же точке. Через хд (jc* 5), & = 1 > 2, 
р,
обозначим

---

корни уравнения D e tL °(x , ;-f-x v ) = 0, l m t t > 0 , и через 
М ( х ,
S, х )— полином (относительно переменной х)
М ( х ,
х ) = Л (х — хА ( * , $)).
k
= 1
Наконец, через 
С °(х,
5) обозначим матрицу, составленную 
из алгебраических дополнений элементов матрицы (6). 
Условие дополнительности состоит в следующем:
Строки матрицы 
В °(х,
S -(- хм) С° (дт, 
должны быть
линейно независимы по модулю 
М (х,
5, х).
П р и м е р 3. П усть си стем а (1) представляет собой одно невы- 
рож даю щ ееся элли п ти ческое уравнение второго п о р яд ка. Для такого 
у рав нен ия в зад ачах Д и р и х л е и Неймана условие дополнительности 
у д о вл етво р я ется: если разм ерн ость пространства 
т ^
3, то в задаче
о косой производной у сл о ви е дополнительности у дов летворяется 
в тех и только тех то ч ках границы, в которых н аправ лени е диф­
ф еренц и рован и я не касател ьн о к границе. Если 
т — 2,
то в задаче
о косой производной у сл о ви е дополнительности у д о в л етв о р я ется на 
всей границе.
П р и м е р 4. Д ля систем ы (8) уравнений стати ч еск о й теории 
у п р у го сти поставим зад ач у Дирихле: и |г = <р (л:), где у 
(х)
— век­
т о р н а я ф ункция, зад ан н ая на границе Г уп ругого тела. П ростран­
ство предполож им трехм ерн ы м : 
т —
3. У словие дополнительности 
у д о в л етв о р я ется при 
ч>ф
— 2 и наруш ается при <■> = — 2 ; при этом, 
р а зу м е е тс я , мы не рассм атр и ваем значений 
ш — со
и « = — 1, при 
к о то р ы х си стем а (8) п е р е с та е т быть эллиптической.
К условию доп олнительн ости можно прийти следую щ им обра­
зом . З аф и кси р у ем точку лг0 £ Г и сделаем ее началом местной 
си стем ы координат 
y h у ъ
. . . , _ут ; как обычно, ось 
у т
направим 
по норм али к Г, о стал ьн ы е оси располож атся тогда в касательной 
п лоскости . В систем е (1) и в краевы х условиях (9) сохраним только 
глав н ы е члены и ^зам орозим » в них коэффициенты, зам ен и в точку 
х
на 
х 0.
С истем у ( 1) сделаем однородной, зам енив в ней свободны е 
члены /у
(X)
нулями. Н ако н ец , заменим область £2 п олу пространст- 
вом 
Ут
> 0. Мы п ридем , таким образом, к весьм а упрощ енной 
к р а е в о й зад аче: у рав нен и я и граничные условия о д н ородн ы отно­
с и тельн о п оряд ка д и ф ф ерен ц и ровани я и их коэф ф иц и енты постоян­
ны, ди ф ф ерен ц и альн ы е у р ав н ен и я задачи однородны и в обычном 
см ы сле, р еш ен и е и щ ется в простейш ей области — в п олу п р о стр ан ­
стве. Если вы полнить п р ео б р азо в ан и е Ф урье но 
у 3,
. . . ,
у т
,, 
то п олучится н еко то р ая к р а е в а я задача для систем ы обы кновенн ы х 
линейны х ди ф ф ер ен ц и ал ьн ы х уравнений с постоянны м и коэф ф ици­
ен там и на полуоси 
у т
> 0 . У словие дополнительности необходимо 
и д о стато ч н о дл я того, чтобы последняя зад ач а и м ела одно и 
т о л ь к о одно р еш ен и е, к о то р о е стремится к нулю при 
у т
- оо.

---

3. 
О п р о с т р а н с т в а х С. Л. С о б о л е в а [7, 8] и 
Л. Н. С л о б о д е ц к о г о [б]. О пространствах 
1 ^ ( 2 ) ,
С. Л. Соболева было сказано в § 5 гл. 2. Норму в